Точка Микеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Mikel.svg
  • Пусть четыре прямые расположены так (в общем положении), что при их пересечении образуется четыре треугольника. Тогда описанные вокруг этих треугольников окружности имеют общую точку, которая называется точкой Микеля этой конфигурации прямых.
  • Замечание. Здесь используются те же четыре треугольника, что и при построении прямой Обера. По-английски «Точка Микеля» будет читаться, как «The Miquel point».

Теорема Микеля-Штейнера для четырехстронника[править | править код]

Теорема Микеля-Штейнера для четырехстронника
  • Последнее утверждение можно сформулировать в следующем виде. Пусть  — четырехстронник, прямые и пересекаются в точке , и  — в . Тогда окружности, описанные около треугольников , , и , имеют общую точку M, которая называется точкой Микеля[1].

История[править | править код]

Этот результат анонсирован в двух работах Якоба Штейнера (Jakob Steiner) в издании 1827—1828 г.г. Джозефа Жергонна (Joseph Diaz Gergonne) Annales de math.[2]. Однако полное доказательство было дано Микелем (Miquel).[1]

Свойства[править | править код]

  • Центры описанных окружностей указанных выше четырех треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.
  • Четырёхугольник ABCD, образованный четырьмя данными прямыми: BE, BF, CE и AF, - вписан тогда и только тогда, когда точка Микеля лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF.

Теорема Микеля для пятиугольника (для пятиконечной звезды)[править | править код]

Теорема Микеля для пятиугольника

Пусть дан выпуклый пятиугольник ABCDE. Продолим все его 5 сторон до тех пор, пока они не пересекутся в 5 точках F, G, H, I, K (образовав пятиконечную звезду). Опишем 5 окружностей около 5 треугольников: CFD, DGE, EHA, AIB и BKC. Тогда другие их точки взаимного пересечения (кроме A, B, C, D, E), а именно новые точки: M, N, P, R и Q лежат на одной окружности (принадлежат одной окружности).[3] (см. рис). Обратный результат известен как теорема о пяти кругах.

Теорема Микеля о шести окружностях[править | править код]

Теорема Микеля о шести окружностях утверждает то, что если пять окружностей имеют четыре тройные точки пересечения, то оставшиеся четыре точки пересечения лежат на шестой окружности

Пусть на окружности заданы 4 точки, А, B, C и D, и 4 окружности попарно пересекаются в этих точках, а также еще в 4 других точках W, X, Y и Z. Тогда последние 4 точки также лежат на общей окружности. Эта теорема известна, как "теорема о шести окружностях"'. [4] (см. рис).

Эту теорему иногда называют теоремой о четырех окружностях и приписывают Якобу Штейнеру, хотя единственное известное опубликованое доказательство было дано Микелем. [5]

Уэллс ссылается на эту теорему как на "теорему Микеля". [6]

Трехмерный аналог теоремы Микеля[править | править код]

трехмерный случай: 4 сферы пересекаются попарно по 6 черным окружностям, которые, в свою очередь, пересекаются в одной общей точке M

Есть также трех-мерный аналог, в котором четыре сферы, проходящие через точки тетраэдра и точки на ребрах тетраэдра пересекаются в одной общей точке M (Уэлс, упоминая Микеля, ссылается на эту теорему как на "теорему Пиво'" (the Pivot theorem)).[7]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Ostermann & Wanner 2012, С. 96
  2. Steiner, J. (1827/1828), "Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet", Annales de math. Т. 18: 302–304 
  3. [[#CITEREFA_high_school_teacher_in_the_French_countryside_(Nantua)_according_to_Ostermann_&_Wanner_2012,_p._94 Ostermann_&_Wanner_2012,_pp._96–97|A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, p. 94 Ostermann & Wanner 2012, pp. 96–97]].
  4. A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 94.
  5. A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 352.
  6. Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. pp. 151–152.
  7. Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. p. 184.

Литература[править | править код]

См. также[править | править код]