Точка Микеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Mikel.svg

Точка Микеля — замечательная точка четырёхугольника.

Определение[править | править код]

Пусть четыре прямые расположены так (в общем положении), что при их пересечении образуется четыре треугольника. Тогда описанные вокруг этих треугольников окружности имеют общую точку, которая называется точкой Микеля этой конфигурации прямых.

Замечание[править | править код]

  • Утверждение, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке называется теоремой Микеля — Штейнера о четырёхстроннике.

Свойства[править | править код]

  • Центры описанных окружностей указанных выше четырёх треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.
  • Четырёхугольник ABCD, образованный четырьмя данными прямыми: BE, BF, CE и AF, — вписан тогда и только тогда, когда точка Микеля лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF.
Теорема Микеля для пятиугольника

История[править | править код]

Этот результат анонсирован в двух работах Якоба Штейнера в издании 1827—1828 г.г. Джозефа Жергонна[1]. Однако полное доказательство было дано Микелем.[2]

Вариации и обобщения[править | править код]

Теорема Микеля для пятиугольника (для пятиконечной звезды)[править | править код]

Пусть дан выпуклый пятиугольник ABCDE. Продолим все его 5 сторон до тех пор, пока они не пересекутся в 5 точках F, G, H, I, K (образовав пятиконечную звезду). Опишем 5 окружностей около 5 треугольников: CFD, DGE, EHA, AIB и BKC. Тогда другие их точки взаимного пересечения (кроме A, B, C, D, E), а именно новые точки: M, N, P, R и Q лежат на одной окружности (принадлежат одной окружности)[3] (см. рис). Обратный результат известен как теорема о пяти кругах.

Теорема Микеля о шести окружностях[править | править код]

Теорема Микеля о шести окружностях утверждает то, что если пять окружностей имеют четыре тройные точки пересечения, то оставшиеся четыре точки пересечения лежат на шестой окружности

Пусть на окружности заданы 4 точки, А, B, C и D, и 4 окружности попарно пересекаются в этих точках, а также ещё в 4 других точках W, X, Y и Z. Тогда последние 4 точки также лежат на общей окружности. Эта теорема известна, как «теорема о шести окружностях»'[4] (см. рис).

Эту теорему иногда называют теоремой о четырёх окружностях и приписывают Якобу Штейнеру, хотя единственное известное опубликованое доказательство было дано Микелем[5].

Уэллс ссылается на эту теорему как на «теорему Микеля»[6].

трехмерный случай: 4 сферы пересекаются попарно по 6 чёрным окружностям, которые, в свою очередь, пересекаются в одной общей точке M

Трехмерный аналог теоремы Микеля[править | править код]

Есть также трех-мерный аналог, в котором четыре сферы, проходящие через точки тетраэдра и точки на ребрах тетраэдра пересекаются в одной общей точке M (Уэлс, упоминая Микеля, ссылается на эту теорему как на «теорему Пиво'» (the Pivot theorem))[7].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Steiner, J. (1827/1828), "Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet", Annales de math. Т. 18: 302–304 
  2. Ошибка в сносках?: Неверный тег <ref>; для сносок Oster96 не указан текст
  3. A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, p. 94-97
  4. A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 94
  5. A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 352
  6. Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. pp. 151—152
  7. Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. p. 184

Литература[править | править код]