Точка Нагеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Точка Нагеля
N — точка Нагеля треугольника ABC
N — точка Нагеля треугольника ABC
Барицентрические координаты
Трилинейные координаты
Код ЭЦТ X(8)
Связанные точки
Изотомически сопряженная точка Жергона
Дополнительная[es] центр вписанной окружности

Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.

Обычно обозначается .

Свойства[править | править код]

Прямая Нагеля. инцентр,  — центроид,  — центр Шпикера,  — точка Нагеля.
  • Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Нагеля (см. рисунок).
  • Если точки , , таковы, что каждый из отрезков , и делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
  • Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
  • Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
  • Расстояние между ортоцентром и точкой Нагеля равно диаметру окружности Фурмана и равно
.

Треугольник Нагеля[править | править код]

* Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника определяется вершинами , и , которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника и точка противоположна стороне , и т. д.

Свойства[править | править код]

  • Описанная вокруг треугольника окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта).
  • Три прямые , и делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля  — X(8).
  • Перпендикуляры, восстановленные в трех вершинах треугольника Нагеля к сторонам основного треугольника (то есть в точках касания вневписанных окружностей со сторонами основного треугольника), пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[4].
  • Анимацию построения точки Нагеля см. на рис.
Анимация построения точки Нагеля

Замечание[править | править код]

Точка Нагеля относится к слабым точкам. Поэтому следует говорить не об одной, а о нескольких точках Нагеля. То есть, соединение других точек касания вневписанных окружностей с вершинами треугольника дает ещё три точки Нагеля.

История[править | править код]

Названа по имени Христиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836 г.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Weisstein, Eric W. Fuhrmann Circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
  3. Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, p. 247, 1929.
  4. Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 11, п. 5. — (Библиотека «Математическое просвещение»).

Ссылки[править | править код]