Транзитивность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Транзитивность — свойство бинарного отношения.

Определение[править | править вики-текст]

Бинарное отношение на множестве называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества выполнение отношений и влечёт выполнение отношения .

Формально, отношение транзитивно, если

.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Равенство: и , значит (на самом деле, отношение равенства вместе с отношением эквивалентности и параллельности прямых обладает более сильным свойством также ещё и «равенства третьему» по причине своей симметричности)
  • Отношение порядка: и , значит или нестрогого порядка: и , значит
  • Параллельность прямых: и , значит (см. примечание к «равенству чисел»)
  • Импликация: и , значит
  • Эквивалентность: и , значит (см. примечание к «равенству чисел»)
  • Включение подмножества: если b является подмножеством a, и в свою очередь c является подмножеством b, тогда c является подмножеством a
  • Делимость: если a делится на b, и b делится на c, тогда a делится на c.
  • Отношение следования вершин ориентированного графа: если вершина достижима из вершины , а вершина , в свою очередь, — из , то достижима из .

Примеры отсутствия транзитивности (встречаются, когда логические высказывания связаны не арифметическими отношениями или их эквивалентами в языке, а другими смысловыми отношениями):

  • Игра «Камень, ножницы, бумага»: Камень сильнее Ножниц; Ножницы сильнее Бумаги; однако Камень не сильнее Бумаги (). Здесь "сильнее" не имеет буквального значения, поскольку "сила" Бумаги в том, что она просто обертывает Камень.
  • В круговом турнире часто бывает ситуация, когда команда A победила команду B, команда B — команду C, а команда C победила команду A. Следовательно, в таком турнире отношение «победа» является нетранзитивным и не имеет эквивалента арифметической операции или арифметического отношения.
  • Отношение связи вершин граф-схемы алгоритма: например, если в граф-схеме алгоритма имеет место альтернативное ветвление, начинающееся условной вершиной , и две вершины и , входящие в состав различных альтернативных ветвей ветвления, то вершина связана с , связана с , однако вершины и не связаны (они либо параллельны, либо альтернативны).
  • Отношение параллельности вершин параллельной граф-схемы алгоритма: например, если в составе параллельного фрагмента алгоритма в одной из ветвей находится вершина , а другая представлена альтернативным ветвлением с двумя ветвями, одна из которых содержит вершину , а другая — , то вершины и находятся в отношении параллельности, также как и вершины и , однако вершины и не параллельны (они находятся в отношении альтернативы).
  • Отношение альтернативы вершин граф-схемы алгоритма: например, если в составе альтернативного фрагмента алгоритма одна из ветвей представлена вершиной , а другая включает последовательно выполняемые вершины и , то вершины и находятся в отношении альтернативы, что справедливо и для вершин и , однако вершины и не состоят в отношении альтернативы (они состоят в отношениях следования и связи).

См. также[править | править вики-текст]