Транспонированная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Транспонированная матрица — матрица A^T, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m \times n — матрица A^T размеров n \times m, определённая как A^T_{ij} = A_{ji}.

Например,

\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}
     и      
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц[править | править вики-текст]

  • ~(A^T)^T= A
Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
  • ~(A + B)^T = A^T + B^T
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
  • ~(AB)^T = B^TA^T
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
  • ~(\lambda A)^T=\lambda A^T
При транспонировании можно выносить скаляр.
  • ~\det A = \det A^T
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению S^T=S.

Для того чтобы матрица S была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению A^T=-A.

Для того чтобы матрица A была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

были равны по модулю и противоположны по знаку, т.е. A_{ij}=-A_{ji}.

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: A_{ii}=0.


Для любой квадратной матрицы M имеется представление M=S+A,

где S=\frac{M+M^T}{2} - симметричная часть, A=\frac{M-M^T}{2} - антисимметричная часть.

См. также[править | править вики-текст]