Трапецеромбический додекаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Трапецеромбический додекаэдр
Trapezo-rhombic dodecahedron.png
Свойства выпуклый
Комбинаторика
Элементы
12 граней
24 ребра
14 вершин
Χ = 2
Грани 6 ромбов
6 трапеций
Конфигурация вершины 2(4.4.4)
6(4.4.4.4)
6(4.4.4)
Двойственный многогранник трёхскатный прямой бикупол
Классификация
Группа симметрии D3h

Трапецеромби́ческий додека́эдр[1][2]многогранник, двойственный трёхскатному прямому бикуполу.

Составлен из 12 граней: 6 равнобоких трапеций и 6 ромбов. Каждая грань окружена двумя трапециедальными и двумя ромбическими; у каждой грани два угла равны а два других

Имеет 14 вершин. В 2 вершинах сходятся своими тупыми углами три ромбических грани; в 6 вершинах (расположенных как вершины правильной треугольной призмы) сходятся острыми углами две трапециедальных и две ромбических грани; в остальных 6 (расположенных как вершины другой правильной треугольной призмы) сходятся тупыми углами две трапециедальных и одна ромбическая грани.

У трапецеромбического додекаэдра 24 ребра — 3 «длинных» (служащих большими основаниями трапеций), 18 «средних» (служащих боковыми сторонами трапеций и сторонами ромбов) и 3 «коротких» (служащих малыми основаниями трапеций). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен

Трапецеромбический додекаэдр можно получить из ромбододекаэдра, разрезав тот на две части любой плоскостью, пересекающей под прямыми углами шесть его рёбер, и повернув одну из частей на 60° вокруг её оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; вписанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают со вписанной и полувписанной сферами исходного ромбододекаэдра.

Метрические характеристики[править | править код]

Если «средние» рёбра трапецеромбического додекаэдра имеют длину , то его «длинные» рёбра имеют длину «короткие» — длину

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

Описать около трапецеромбического додекаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Периметр любой грани будет равен

радиус окружности, вписанной в любую грань —

площадь любой грани —

Заполнение пространства[править | править код]

С помощью трапецеромбических додекаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.

Данное заполнение является диаграммой Вороного для центров одинаковых сфер в шестиугольной плотной упаковке (ГП).

Примечания[править | править код]

  1. У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 164—165.
  2. М. Гарднер. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1999. — Стр. 366—367.

Ссылки[править | править код]