Треугольник Рёло

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Треугольник Рело»)
Перейти к: навигация, поиск
Построение треугольника Рёло

Треуго́льник Рёло́[* 1] представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне[1][2]. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины[1]. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых[* 2], то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным[3]. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.

Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью[1], наименьшим возможным углом при вершине[4], наименьшей симметричностью относительно центра[5]. Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить квадратные отверстия[6].

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого треугольника; также он использовал его в своих механизмах[7].

История[править | править исходный текст]

Mappamundi. Леонардо да Винчи, примерно 1514 год

Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась[8].

Леонардо да Винчи, манускрипт A, фрагмент листа 15v

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке[9]. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции[10], а также в Мадридском кодексе[9].

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов[11].

Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон[9].

Свойства[править | править исходный текст]

Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой[12].

Основные геометрические характеристики[править | править исходный текст]

Reuleaux triangle, incircle and circumcircle.svg

Если ширина треугольника Рёло равна a, то его площадь равна[13]

S = {{1}\over{2}}\left(\pi - \sqrt{3}\right) \cdot a^2,

периметр

p = \pi a,

радиус вписанной окружности

r = \left(1 - {{1}\over{\sqrt{3}}}\right) \cdot a,

а радиус описанной окружности

R = {{a}\over{\sqrt{3}}}.

Симметрия[править | править исходный текст]

Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр[* 3]. Таким образом, группа симметрий треугольника Рёло состоит из шести отображений (включая тождественное) и совпадает с группой D_3 симметрий правильного треугольника.

Построение циркулем[править | править исходный текст]

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.

Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины[править | править исходный текст]

Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса. В частности,

  • с каждой из своих опорных прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке[14];
  • расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло ширины a не может превышать a[15];
  • отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым[16];
  • через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая[17];
  • через каждую точку P границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса a[* 4], причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку P, является касательной к этой окружности[18];
  • радиус окружности, имеющей не меньше трёх общих точек с границей треугольника Рёло ширины a, не превышает a[19];
  • по теореме Ханфрида Ленца[de] о множествах постоянной ширины треугольник Рёло нельзя разделить на две фигуры, диаметр которых был бы меньше ширины самого треугольника[20][21];
  • треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат[22], а также в правильный шестиугольник[23];
  • по теореме Барбье формула периметра треугольника Рёло справедлива для всех фигур постоянной ширины[24][25][26].

Экстремальные свойства[править | править исходный текст]

Наименьшая площадь[править | править исходный текст]

Среди всех фигур постоянной ширины a у треугольника Рёло наименьшая площадь[1]. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега[27][28] (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке, опубликовавшего теорему в 1915 году[29], и французского математика Анри Лебега, который сформулировал её в 1914 году[30]). В разное время варианты её доказательства предлагали Мацусабуро Фудзивара (1927 и 1931 год)[31][32], Антон Майер (1935 год)[33], Гарольд Эгглстон (1952 год)[34], Абрам Безикович (1963 год)[35], Дональд Чакериан (1966 год)[36], Эванс Харрелл (2002 год)[37] и другие математики[5].

Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника

S_\triangle = {{\sqrt{3}}\over{4}} \cdot a^2

и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60°

S_{seg} = {{a^2}\over{2}} \left({{\pi}\over{3}} - \sin{{\pi}\over{3}}\right) = {\left({{\pi}\over{6}} - {{\sqrt{3}}\over{4}}\right) \cdot a^2},

то есть

S_{rt} = S_\triangle + 3S_{seg} = {{1}\over{2}}\left(\pi - \sqrt{3}\right) \cdot a^2 = a^2 \cdot 0{,}70477\ldots[38]

Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством — круг. Среди всех фигур данной постоянной ширины его площадь

S_\circ = a^2 \cdot {{\pi}\over{4}} = a^2 \cdot 0{,}78539\ldots

максимальна[39][* 5]. Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈10,27 %. В этих пределах лежат площади всех остальных фигур данной постоянной ширины.

Наименьший угол[править | править исходный текст]

Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло[4].

Наименьшая центральная симметрия[править | править исходный текст]

Треугольник Рёло (бежевый) и его образ при центральной симметрии относительно своего центра (заштрихован). Наибольшая центрально-симметричная фигура, в нём содержащаяся (криволинейный шестиугольник), и наименьшая центрально-симметричная, его содержащая (правильный шестиугольник) выделены жирной линией

Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло обладает центральной симметрией в наименьшей степени[5][40][41][42][43]. Существует несколько различных способов дать определение степени симметричности фигуры. Один из них — это мера Ковнера — Безиковича. В общем случае для выпуклой фигуры C она равна

\sigma(C) = {{\mu(A)}\over{\mu(C)}},

где \mu — площадь фигуры, A — содержащаяся в C центрально-симметричная выпуклая фигура максимальной площади. Для треугольника Рёло такой фигурой является шестиугольник с искривлёнными сторонами, представляющий собой пересечение этого треугольника Рёло со своим образом при центральной симметрии относительно своего центра[* 3]. Мера Ковнера — Безиковича для треугольника Рёло равна

\sigma = {{6\arccos{\left({{5 + \sqrt{33}}\over{12}}\right)} + \sqrt{3} - \sqrt{11}}\over{\pi - \sqrt{3}}} = 0{,}84034\ldots[5][40]

Другой способ — это мера Эстерманна

\tau(C) = {{\mu(C)}\over{\mu(B)}},

где B — содержащая C центрально-симметричная фигура минимальной площади. Для треугольника Рёло B — это правильный шестиугольник, поэтому мера Эстерманна равна

\tau = {{\pi - \sqrt{3}}\over{\sqrt{3}}} = 0{,}81379\ldots[5][36]

Для центрально-симметричных фигур меры Ковнера — Безиковича и Эстерманна равны единице. Среди фигур постоянной ширины центральной симметрией обладает только круг[25], который (вместе с треугольником Рёло) и ограничивает область возможных значений их симметричности.

Качение по квадрату[править | править исходный текст]

Качение треугольника Рёло по квадрату

Любая фигура постоянной ширины вписана в квадрат со стороной, равной ширине фигуры, причём направление сторон квадрата может быть выбрано произвольно[22][* 6]. Треугольник Рёло — не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон[44].

Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах — там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его больша́я и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны

a\cdot\left(\sqrt{3}\pm1\right),

где a — ширина треугольника[45]. Каждый из четырёх эллипсов касается двух смежных сторон квадрата на расстоянии

a \cdot \left(1 - {{\sqrt{3}}\over{2}}\right) = a \cdot 0{,}13397\ldots

от угла[38].

Reuleaux triangle rotation corners.svg Reuleaux shape corner.svg
Эллипс (выделен красным цветом), очерчивающий один из углов фигуры (её граница выделена чёрным цветом), которую покрывает треугольник Рёло при вращении в квадрате
Угол покрываемой вращением фигуры. Подписаны точки касания сторон квадрата с эллипсом. Светло-жёлтым показан не затронутый вращением угол квадрата

Центр треугольника Рёло при вращении движется по траектории, составленной из четырёх одинаковых дуг эллипсов. Центры этих эллипсов расположены в вершинах квадрата, а оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны

a\cdot\left(1\pm{{1}\over\sqrt{3}}\right)[45].

Иногда для механизмов, реализующих на практике такое вращение треугольника, в качестве траектории центра выбирают не склейку из четырёх дуг эллипсов, а близкую к ней окружность[46].

Reuleaux triangle rotation center.svg Trajectory of center of rotating Reuleaux triangle.svg
Эллипс (выделен красным цветом), очерчивающий одну четвёртую кривой, по которой движется центр треугольника Рёло при вращении в квадрате
Траектория центра треугольника Рёло при вращении в квадрате. Выделены точки сопряжения четырёх дуг эллипсов. Для сравнения показана окружность (синим цветом), проходящая через эти же четыре точки

Площадь каждого из четырёх не затронутых вращением уголков равна

\beta = a^2 \cdot \left(1 - {{\sqrt{3}}\over{2}} - {{\pi}\over{24}}\right)[47]

и, вычитая их из площади квадрата, можно получить площадь фигуры, которую образует треугольник Рёло при вращении в нём

a^2 - 4\beta = a^2 \cdot \left(2\sqrt{3} + {{\pi}\over{6}} - 3\right) = a^2 \cdot 0{,}98770\ldots[38][47][48]

Разница с площадью квадрата составляет ≈1,2 %, поэтому на основе треугольника Рёло создают свёрла, позволяющие получать почти квадратные отверстия[45].

Применение[править | править исходный текст]

Сверление квадратных отверстий[править | править исходный текст]

«Мы все слыхали о гаечных ключах, приспособленных для гаек с левой резьбой, завязанных в узел водопроводных трубах и бананах из чугуна. Мы считали подобные вещи смешными безделушками и отказывались даже верить, что они когда-нибудь встретятся нам в действительности. И вдруг появляется инструмент, позволяющий сверлить квадратные отверстия!»

рекламная листовка фирмы
Watts Brothers Tool Works[49][* 7]

Сверло с сечением в виде треугольника Рёло и режущими кромками, совпадающими с его вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата состоит лишь в немного скруглённых углах[50]. Другая особенность подобного сверла заключается в том, что его центр при вращении не остаётся на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов. Поэтому патрон, в котором зажато сверло, не должен препятствовать этому движению[45].

Впервые сделать подобную конструкцию удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в США. Для сверления он использовал направляющий шаблон с квадратной прорезью, в котором двигалось сверло, вставленное в «плавающий патрон»[50]. Патенты на патрон[51] и сверло[52] были получены Уаттсом в 1917 году. Продажу новых дрелей осуществляла фирма Watts Brothers Tool Works[en][53][54]. Ещё один патент США на похожее изобретение был выдан в 1978 году[55].

Двигатель Ванкеля[править | править исходный текст]

Схема работы двигателя Ванкеля

Другой пример использования можно найти в двигателе Ванкеля: ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло[6]. Он вращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по эпитрохоиде[56]. Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестернёй. Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма, каждая из которых по очереди является камерой сгорания[6]. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.

Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный термодинамический цикл без применения механизма газораспределения. Смесеобразование, зажигание, смазка, охлаждение и пуск в нём принципиально такие же, как у обычных поршневых двигателей внутреннего сгорания[56].

Грейферный механизм[править | править исходный текст]

Рамочно-кулачковый грейферный механизм кинопроектора «Луч-2»

Ещё одно применение треугольника Рёло в механике — это грейферный механизм, осуществляющий покадровое перемещение плёнки в кинопроекторах. Грейфер проектора «Луч-2», например, основан на треугольнике Рёло, который вписан в рамку-квадрат и закреплён на двойном параллелограмме. Вращаясь вокруг вала привода, треугольник двигает рамку с расположенным на ней зубом. Зуб входит в перфорацию киноплёнки, протаскивает её на один кадр вниз и выходит обратно, поднимаясь затем к началу цикла. Его траектория тем ближе к квадрату, чем ближе к вершине треугольника закреплён вал (идеально квадратная траектория позволила бы проецировать кадр в течение ¾ цикла)[6][57][58].

Существует и другая конструкция грейфера, также основанная на треугольнике Рёло. Как и в первом случае, рамка этого грейфера совершает возвратно-поступательное движение, однако её двигает не один, а два кулачка, работа которых синхронизирована с помощью зубчатой передачи[28].

Крышки для люков[править | править исходный текст]

Крышка люка для рекуперированной воды в Сан-Франциско

В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков — благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк[59].

В Сан-Франциско, для системы рекуперирования воды[en] корпуса люков имеют форму треугольника Рёло, но их крышки имеют форму равносторонних треугольников.

Кулачковый механизм[править | править исходный текст]

Images.png Внешние изображения
Кулачковые механизмы на основе треугольника Рёло
Image-silk.png Модели L01[60], L02[61] и L06[62] из коллекции механизмов Франца Рёло

Треугольник Рёло использовался в кулачковых механизмах некоторых паровых двигателей начала XIX века. В этих механизмах вращательное движение кривошипа поворачивает треугольник Рёло, прикреплённый к толкателю передаточными рычагами, что заставляет толкатель совершать возвратно-поступательное движение[63]. По терминологии Рёло, это соединение образует «высшую» кинематическую пару, поскольку контакт звеньев происходит по линии, а не по поверхности[64]. В подобных кулачковых механизмах толкатель при достижении крайнего правого или левого положения остаётся некоторое конечное время неподвижен[63][10].

Треугольник Рёло ранее широко применяется в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки.

В качестве кулачка треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме наручных часов A. Lange & Söhne «Lange 31»[65].

Каток[править | править исходный текст]

Катки с сечением в виде круга и треугольника Рёло. Немецкий технический музей

Для перемещения тяжёлых предметов на небольшие расстояния можно использовать не только колёсные, но и более простые конструкции, например, цилиндрические катки[66]. Для этого груз нужно расположить на плоской подставке, установленной на катках, а затем толкать его. По мере освобождения задних катков их необходимо переносить и класть спереди[67][66]. Такой способ транспортировки человечество использовало до изобретения колеса.

При этом перемещении важно, чтобы груз не двигался вверх и вниз, так как тряска потребует дополнительных усилий от толкающего[67]. Для того, чтобы движение по каткам было прямолинейным, их сечение должно представлять собой фигуру постоянной ширины[67][68]. Чаще всего сечением был круг, ведь катками служили обыкновенные брёвна. Однако сечение в виде треугольника Рёло будет ничуть не хуже и позволит передвигать предметы столь же прямолинейно[6][67].

Несмотря на то, что катки в форме треугольника Рёло позволяют плавно перемещать предметы, такая форма не подходит для изготовления колёс, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси вращения[69].

Плектр[править | править исходный текст]

Треугольник Рёло — распространённая форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для игры на струнах щипковых музыкальных инструментов.

Треугольник Рёло в искусстве[править | править исходный текст]

Архитектура[править | править исходный текст]

Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко[70][71]. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге[9], а также в шотландской церкви в Аделаиде[71]. Как элемент орнамента он встречается на оконных решётках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив[fr][70].

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник[de]» в сечении представляет собой именно эту фигуру[72].

Некоторые примеры использования
Reuleaux triangles on a window of Onze-Lieve-Vrouwekerk, Bruges 2.jpg Reuleaux triangle shaped window of Sint-Salvatorskathedraal, Bruges.jpg Reuleaux triangles on a window of Notre-Dame, Paris.jpg KölnTriangle (Flight over Cologne).jpg
Окно церкви Богоматери в Брюгге Окно собора Святого Сальватора в Брюгге Окно собора Парижской Богоматери «Кёльнский треугольник[de]»
Reuleaux triangles on a window of Saint Michael church, Luxembourg.jpg Reuleaux triangle shaped window of Onze-Lieve-Vrouwekerk, Bruges.jpg Reuleaux triangles on a window of St. Michael and St. Gudula Cathedral, Brussels.jpg Reuleaux triangles on a window of Sint-Baafskathedraal, Ghent 2.jpg
Окно церкви Святого Михаила в Люксембурге Окно церкви Богоматери в Брюгге Окно собора Святых Михаила и Гудулы в Брюсселе Окно собора Святого Бавона в Генте
См. также категорию «Reuleaux triangles in architecture» на Викискладе

Форма и цвет[править | править исходный текст]

Треугольник Рёло в соответствиях И. Иттена

Согласно форкурсу Иоганнеса Иттена, в «идеальной» модели соответствий, часть спектра каждого цвета пребывает в таковом — с формой (геометрической фигурой). Зелёный цвет является «производным»: результатом смешения прозрачно-синего и светло-желтого (без включения ахроматических), а поскольку в этой модели им соответствуют круг и правильный треугольник, именно фигура, называемая И. Иттеном сферическим треугольником, — треугольник Рёло, и соответствует зелёному.

Литература[править | править исходный текст]

В научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона «Треугольное колесо»[73] экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало колёса, так как всё круглое находилось под религиозным запретом. В сотнях километров от места посадки предыдущая земная экспедиция оставила склад с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рёло.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Многоугольник Рёло[править | править исходный текст]

Семиугольник Рёло, построенный на неправильном звёздчатом семиугольнике

Лежащую в основе треугольника Рёло идею построения можно обобщить, используя для создания кривой постоянной ширины не равносторонний треугольник, а звёздчатый многоугольник, образованный отрезками прямых равной длины[74]. Если из каждой вершины звёздчатого многоугольника провести дугу окружности, которая соединит две смежные ей вершины, то полученная замкнутая кривая постоянной ширины будет состоять из конечного числа дуг одного и того же радиуса[74]. Такие кривые (а также ограничиваемые ими фигуры) называются многоугольниками Рёло[75][76].

Правильные многоугольники Рёло

Семейство многоугольников Рёло определённой ширины a образует всюду плотное подмножество во множестве всех кривых постоянной ширины a[75]. Иными словами, с их помощью можно сколь угодно точно приблизить любую кривую постоянной ширины[77][76].

Среди многоугольников Рёло выделяют класс кривых, построенных на основе правильных звёздчатых многоугольников. Этот класс носит название правильных многоугольников Рёло. Все дуги, из которых составлен подобный многоугольник, имеют не только одинаковый радиус, но и одинаковую длину[78][* 8]. Треугольник Рёло, например, является правильным. Среди всех многоугольников Рёло с фиксированным числом сторон и одинаковой шириной правильные многоугольники ограничивают наибольшую площадь[78][79].

Форма таких многоугольников используется в монетном деле: монеты ряда стран (в частности, 20[80] и 50 пенсов[81] Великобритании) выполнены в виде правильного семиугольника Рёло. Существует изготовленный китайским офицером велосипед, колёса которого имеют форму правильных треугольника и пятиугольника Рёло[82].

Трёхмерные аналоги[править | править исходный текст]

Тетраэдр Рёло

Трёхмерным аналогом треугольника Рёло как пересечения трёх кругов является тетраэдр Рёло — пересечение четырёх одинаковых шаров, центры которых расположены в вершинах правильного тетраэдра, а радиусы равны стороне этого тетраэдра. Однако тетраэдр Рёло не является телом постоянной ширины: расстояние между серединами противоположных граничных криволинейных рёбер, соединяющих его вершины, в

\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2} = 1{,}02494\ldots

раз больше, чем ребро исходного правильного тетраэдра[83][84].

Тем не менее, тетраэдр Рёло можно видоизменить так, чтобы получившееся тело оказалось телом постоянной ширины. Для этого в каждой из трёх пар противоположных криволинейных рёбер одно ребро определённым образом «сглаживается»[84][85]. Получающиеся таким способом два различных тела (три ребра, на которых происходят замены, могут быть взяты либо исходящими из одной вершины, либо образующими треугольник[85]) называются телами Мейсснера, или тетраэдрами Мейсснера[83]. Сформулированная Томми Боннесеном[de] и Вернером Фенхелем[de] в 1934 году[86] гипотеза утверждает, что именно эти тела минимизируют объём среди всех тел заданной постоянной ширины, однако (по состоянию на 2011 год) эта гипотеза не доказана[87][88].

Наконец, тело вращения, получаемое при вращении треугольника Рёло вокруг одной из его осей симметрии второго порядка, — тело постоянной ширины. Оно имеет наименьший объём среди всех тел вращения постоянной ширины[84][89][90].

Комментарии[править | править исходный текст]

  1. Встречаются и другие варианты транскрипции фамилии Reuleaux. Например, И. М. Яглом и В. Г. Болтянский в книге «Выпуклые фигуры» называют его «треугольником Релло».
  2. Опорная прямая проходит через одну точку границы фигуры, не разделяя при этом фигуру на части.
  3. 1 2 Центр треугольника Рёло — это точка пересечения всех медиан, биссектрис и высот его правильного треугольника.
  4. Для треугольника Рёло эта окружность совпадает с одной из трёх окружностей, которые образуют его границу.
  5. Это утверждение следует из совокупности двух теорем — классической изопериметрической задачи Дидоны и теоремы Барбье.
  6. Это свойство вполне характеризует фигуры постоянной ширины. Иначе говоря, любая фигура, вокруг которой можно «вращать» описанный квадрат, будет фигурой постоянной ширины.
  7. В оригинале — «We have all heard about left-handed monkey wrenches, fur-lined bathtubs, cast-iron bananas. We have all classed these things with the ridiculous and refused to believe that anything like that could ever happen, and right then along comes a tool that drills square holes!»
  8. Иначе говоря, равны центральные углы этих дуг.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 4 Соколов Д. Д. Постоянной ширины кривая // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 519. — 608 с. — 150 000 экз.
  2. Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, с. 91
  3. Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, с. 90
  4. 1 2 Радемахер, Тёплиц, 1962, с. 206—207
  5. 1 2 3 4 5 Finch S. R. Reuleaux Triangle Constants // Mathematical Constants. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — P. 513—515. — 624 p. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 94). — ISBN 0-5218-1805-2  (англ.)
  6. 1 2 3 4 5 Андреев Н. Н. Круглый треугольник Рело. Математические этюды. Проверено 11 октября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  7. Pickover C. A. Reuleaux Triangle // The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. — New York; London: Sterling, 2009. — P. 266—267. — 528 p. — ISBN 1-4027-5796-4  (англ.)
  8. Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, 2007, p. 240
  9. 1 2 3 4 Taimina D., Henderson D. W. Reuleaux Triangle (англ.). Kinematic Models for Design Digital Library. Cornell University. Проверено 11 октября 2011. Архивировано из первоисточника 10 мая 2012.
  10. 1 2 Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, 2007, p. 241
  11. Snyder J. P. Emergence of Map Projections: Classical Through Renaissance // Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections. — Chicago; London: University Of Chicago Press, 1997. — P. 40. — 384 p. — ISBN 0-2267-6747-7  (англ.)
  12. Постоянной ширины кривая // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 478. — 847 с. — 150 000 экз.
  13. WolframAlpha: Reuleaux Triangle (англ.). WolframAlpha. Wolfram Research. Проверено 18 ноября 2011.
  14. Радемахер, Тёплиц, 1962, с. 201
  15. Радемахер, Тёплиц, 1962, с. 201—202
  16. Радемахер, Тёплиц, 1962, с. 202—203
  17. Радемахер, Тёплиц, 1962, с. 203
  18. Радемахер, Тёплиц, 1962, с. 203—204
  19. Радемахер, Тёплиц, 1962, с. 204—206
  20. Lenz H. Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers (нем.) // Archiv der Mathematik. — Basel: Birkhäuser Verlag, 1955. — Vol. 6. — № 5. — P. 413—416. — ISSN 0003-889X. — DOI:10.1007/BF01900515
  21. Райгородский А. М. Проблема Борсука. Универсальные покрышки // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2008. — В. 12. — С. 216. — ISBN 978-5-94057-354-8.
  22. 1 2 Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, с. 92
  23. Eggleston. Convexity, 1958, p. 127—128
  24. Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — Paris: Imprimerie de Mallet-Hachelier, 1860. — Vol. 5. — P. 273—286. — ISSN 0021-7824.
  25. 1 2 Bogomolny A. The Theorem of Barbier (англ.). Cut the Knot. Проверено 11 октября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  26. Eggleston. Convexity, 1958, p. 127
  27. Eggleston. Convexity, 1958, p. 128—129
  28. 1 2 Берже М. Геометрия = Géométrie / Пер. с франц. Ю. Н. Сударева, А. В. Пажитнова, С. В. Чмутова. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — С. 529—531. — 560 с.
  29. Blaschke W. Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts (нем.) // Mathematische Annalen. — Leipzig: Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1915. — Vol. 76. — № 4. — P. 504—513. — ISSN 0025-5831. — DOI:10.1007/BF01458221
  30. Lebesgue H. Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constant (фр.) // Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes Rendus des Séances. — 1914. — Vol. 42. — P. 72—76.
  31. Fujiwara M. Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area (англ.) // Proceedings of the Imperial Academy. — Tokyo: Japan Academy, 1927. — Vol. 3. — № 6. — P. 307—309. — ISSN 0369-9846. — DOI:10.2183/pjab1912.3.307
  32. Fujiwara M. Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area, II (англ.) // Proceedings of the Imperial Academy. — Tokyo: Japan Academy, 1931. — Vol. 7. — № 8. — P. 300—302. — ISSN 0369-9846. — DOI:10.2183/pjab1912.7.300
  33. Mayer A. E. Der Inhalt der Gleichdicke: Abschätzungen für ebene Gleichdicke (нем.) // Mathematische Annalen. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1935. — Vol. 110. — № 1. — P. 97—127. — ISSN 0025-5831. — DOI:10.1007/BF01448020
  34. Eggleston H. G. A Proof of Blaschke’s Theorem on the Reuleaux Triangle (англ.) // Quarterly Journal of Mathematics. — London: Oxford University Press, 1952. — Vol. 3. — № 1. — P. 296—297. — ISSN 0033-5606. — DOI:10.1093/qmath/3.1.296
  35. Besicovitch A. S. Minimum Area of a Set of Constant Width (англ.) // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. — Providence: American Mathematical Society, 1963. — Vol. 7 (Convexity). — P. 13—14. — ISBN 0-8218-1407-9. — ISSN 0082-0717.
  36. 1 2 Chakerian G. D. Sets of Constant Width (англ.) // Pacific Journal of Mathematics. — Berkeley: Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1966. — Vol. 19. — № 1. — P. 13—21. — ISSN 0030-8730.
  37. Harrell E. M. A Direct Proof of a Theorem of Blaschke and Lebesgue (англ.) // Journal of Geometric Analysis. — St. Louis: Mathematica Josephina, 2002. — Vol. 12. — № 1. — P. 81—88. — ISSN 1050-6926. — DOI:10.1007/BF02930861 arΧiv:math.MG/0009137
  38. 1 2 3 Weisstein E. W. Reuleaux Triangle (англ.). Wolfram MathWorld. Проверено 6 ноября 2011.
  39. Болтянский В. Г. О вращении отрезка // Квант. — М.: Наука, 1973. — № 4. — С. 29. — ISSN 0130-2221.
  40. 1 2 Besicovitch A. S. Measure of Asymmetry of Convex Curves (II): Curves of Constant Width (англ.) // Journal of the London Mathematical Society. — Oxford: Oxford University Press, 1951. — Vol. 26. — № 2. — P. 81—93. — ISSN 0024-6107. — DOI:10.1112/jlms/s1-26.2.81
  41. Eggleston H. G. Measure of Asymmetry of Convex Curves of Constant Width and Restricted Radii of Curvature (англ.) // Quarterly Journal of Mathematics. — London: Oxford University Press, 1952. — Vol. 3. — № 1. — P. 63—72. — ISSN 0033-5606. — DOI:10.1093/qmath/3.1.63
  42. Grünbaum B. Measures of Symmetry for Convex Sets (англ.) // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. — Providence: American Mathematical Society, 1963. — Vol. 7 (Convexity). — P. 233—270. — ISBN 0-8218-1407-9. — ISSN 0082-0717.
  43. Groemer H., Wallen L. J. A Measure of Asymmetry for Domains of Constant Width (англ.) // Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry. — Lemgo: Heldermann Verlag, 2001. — Vol. 42. — № 2. — P. 517—521. — ISSN 0138-4821.
  44. Андреев Н. Н. Изобретая колесо. Математические этюды. Проверено 11 октября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  45. 1 2 3 4 Андреев Н. Н. Сверление квадратных отверстий. Математические этюды. Проверено 11 октября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  46. Белильцев В. Плюс геометрия! // Техника и наука. — М.: Профиздат, 1982. — № 7. — С. 14. — ISSN 0321-3269.
  47. 1 2 Klee V., Wagon S. Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. — Washington D.C.: Mathematical Association of America, 1996. — P. 22. — 356 p. — (Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 11). — ISBN 0-8838-5315-9 (англ.)
  48. Wilson R. G. A066666: Decimal Expansion of Area Cut Out by a Rotating Reuleaux Triangle (англ.). OEIS. Проверено 11 октября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  49. Цитата по книге Гарднер М. Математические досуги / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. А. Я. Смородинского. — М.: Мир, 1972. — С. 292. — 496 с.
  50. 1 2 Егупова М. Можно ли просверлить квадратное отверстие? // Наука и жизнь. — М.: АНО «Редакция журнала „Наука и жизнь“», 2010. — № 5. — С. 84—85. — ISSN 0028-1263.
  51. Watts H. J. U.S. patent 1,241,175 (Floating Tool-Chuck) (англ.). Проверено 11 октября 2011.
  52. Watts H. J. U.S. patent 1,241,176 (Drill or Boring Member) (англ.). Проверено 11 октября 2011.
  53. Smith. Drilling Square Holes, 1993
  54. Darling D. J. Reuleaux Triangle // The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes. — Hoboken: Wiley, 2004. — P. 272. — 400 p. — ISBN 0-4712-7047-4  (англ.)
  55. Morrell R. J., Gunn J. A., Gore G. D. U.S. patent 4,074,778 (Square Hole Drill) (англ.). Проверено 11 октября 2011.
  56. 1 2 Ванкеля двигатель // Политехнический словарь / Редкол.: А. Ю. Ишлинский (гл. ред.) и др.. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Советская энциклопедия, 1989. — С. 72. — 656 с. — ISBN 5-8527-0003-7
  57. Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, с. 93—94
  58. Кулагин С. В. Грейферный механизм // Фотокинотехника / Гл. ред. Е. А. Иофис. — М.: Советская энциклопедия, 1981. — С. 71. — 447 с. — 100 000 экз.
  59. White H. S. The Geometry of Leonhard Euler (англ.) // Leonhard Euler: Life, Work and Legacy / Eds. R. E. Bradley, C. E. Sandifer. — Amsterdam: Elsevier, 2007. — P. 309. — ISBN 0-4445-2728-1.
  60. Model: L01 Positive Return Mechanism with Curved Triangle (Model Metadata) (англ.). Kinematic Models for Design Digital Library. Cornell University. Проверено 18 ноября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  61. Model: L02 Positive Return Cam (Model Metadata) (англ.). Kinematic Models for Design Digital Library. Cornell University. Проверено 18 ноября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  62. Model: L06 Positive Return Cam (Model Metadata) (англ.). Kinematic Models for Design Digital Library. Cornell University. Проверено 18 ноября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  63. 1 2 Model: L01 Positive Return Mechanism with Curved Triangle (англ.). Kinematic Models for Design Digital Library. Cornell University. Проверено 11 октября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  64. Model: L06 Positive Return Cam (англ.). Kinematic Models for Design Digital Library. Cornell University. Проверено 11 октября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  65. Гопей И. A. Lange & Söhne Lange 31 // Мои часы. — М.: Часовая литература, 2010. — № 1. — С. 39. — ISSN 1681-5998.
  66. 1 2 Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991, p. 212
  67. 1 2 3 4 Бутузов В. Ф. и др. Окружность // Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. — М.: Физматлит, 2005. — С. 265. — 488 с. — ISBN 5-9221-0635-X
  68. Коган Б. Ю. Удивительные катки // Квант. — М.: Наука, 1971. — № 3. — С. 21—24. — ISSN 0130-2221.
  69. Peterson. Mathematical Treks, 2002, p. 143
  70. 1 2 Brinkworth P., Scott P. Fancy Gothic of Hauterive (англ.). The Place Of Mathematics(недоступная ссылка — история). Проверено 11 октября 2011. Архивировано из первоисточника 5 апреля 2013.
  71. 1 2 Scott P. Reuleaux Triangle Window (англ.). Mathematical Photo Gallery(недоступная ссылка — история). Проверено 11 октября 2011. Архивировано из первоисточника 1 мая 2013.
  72. KölnTriangle: Architecture (англ.). Официальный сайт KölnTriangle. Проверено 11 октября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  73. Anderson P. The Three-Cornered Wheel (англ.) // Analog Science Fact — Science Fiction. — New York: Condé Nast Publications, 1963/10. — Vol. LXXII. — № 2. — P. 50—69.
  74. 1 2 Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991, p. 215—216
  75. 1 2 Bezdek M. On a Generalization of the Blaschke-Lebesgue Theorem for Disk-Polygons (англ.) // Contributions to Discrete Mathematics. — 2011. — Vol. 6. — № 1. — P. 77—85. — ISSN 1715-0868.
  76. 1 2 Eggleston. Convexity, 1958, p. 128
  77. Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, с. 98—102
  78. 1 2 Firey W. J. Isoperimetric Ratios of Reuleaux Polygons (англ.) // Pacific Journal of Mathematics. — Berkeley: Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1960. — Vol. 10. — № 3. — P. 823—829. — ISSN 0030-8730.
  79. Sallee G. T. Maximal Areas of Reuleaux Polygons (англ.) // Canadian Mathematical Bulletin. — Ottawa: Canadian Mathematical Society, 1970. — Vol. 13. — № 2. — P. 175—179. — ISSN 0008-4395. — DOI:10.4153/CMB-1970-037-1
  80. United Kingdom 20p Coin (англ.). Официальный сайт The Royal Mint Ltd. Проверено 6 ноября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  81. United Kingdom 50p Coin (англ.). Официальный сайт The Royal Mint Ltd. Проверено 6 ноября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  82. Колёса с углами: изобретаем велосипед. Сайт «Популярная механика» (29 мая 2009). Проверено 6 ноября 2011. Архивировано из первоисточника 23 мая 2012.
  83. 1 2 Weisstein E. W. Reuleaux Tetrahedron (англ.). Wolfram MathWorld. Проверено 6 ноября 2011.
  84. 1 2 3 Kawohl B., Weber C. Meissner’s Mysterious Bodies (англ.) // Mathematical Intelligencer. — New York: Springer, 2011. — Vol. 33. — № 3. — P. 94—101. — ISSN 0343-6993. — DOI:10.1007/s00283-011-9239-y
  85. 1 2 Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991, p. 218
  86. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1934. — S. 127—139. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1).  (нем.)
  87. Kawohl B. Convex Sets of Constant Width (англ.) // Oberwolfach Reports. — Zurich: European Mathematical Society Publishing House, 2009. — Vol. 6. — № 1. — P. 390—393.
  88. Anciaux H., Guilfoyle B. On the Three-Dimensional Blaschke-Lebesgue Problem (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society. — Providence: American Mathematical Society, 2011. — Vol. 139. — № 5. — P. 1831—1839. — ISSN 0002-9939. — DOI:10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 arΧiv:0906.3217
  89. Campi S., Colesanti A., Gronchi P. Minimum Problems for Volumes of Convex Bodies (англ.) // Partial Differential Equations and Applications / Eds. P. Marcellini, G. Talenti, E. Visintin. — New York: Marcel Dekker, 1996. — P. 43—55. — ISBN 0-8247-9698-5.
  90. Anciaux H., Georgiou N. The Blaschke-Lebesgue Problem for Constant Width Bodies of Revolution (англ.). arΧiv:0903.4284

Литература[править | править исходный текст]

На русском языке[править | править исходный текст]

На английском языке[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]