Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского.

Построение

Итеративный метод

Построение треугольника Серпинского

Мозаичный пол в стиле косматеско в Кафедральном соборе Св. Марии в Ананьи

Середины сторон равностороннего треугольника $T_{0}$ соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество $T_{1}$, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество $T_{2}$, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность $T_{0}\supset T_{1}\supset \dots \supset T_{n}\supset \dots$, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Метод хаоса

1. Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника $T_{0}$.

2. Вероятностное пространство $(0;1)$ разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.

3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка $P_{0}$.

4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.

1. Генерируется случайное число $n\in (0;1)$.

2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.

3. Строится точка $P_{i}$ с новыми координатами: $x_{i}={\frac {x_{i-1}+x_{A}}{2}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+y_{A}}{2}}$, где:

$x_{i-1},y_{i-1}$ — координаты предыдущей точки $P_{i-1}$; $x_{A},y_{A}$ — координаты активной точки-аттрактора.

5. Возврат к началу цикла.

Свойства

• Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
• Треугольник Серпинского замкнут.
• Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
• Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность $=\ln 3/\ln 2\approx 1{,}585$. В частности,
  • треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.

Факты

• Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
• Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии.
• Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений Георгия Нарбута, в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала «Мистецтво» (1919—1920 гг.).
• Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в интерьере синагоги Бен-Эзра, Каир, Египет
• На основе треугольника Серпинского могут быть изготовлены многодиапазонные фрактальные антенны.
• Четыре первых итерации фрактальных треугольников Серпинского использовались в орнаментах геометрической мозаики стиля косматеско в средневековых соборах Италии (начиная с XII века), арабских и персидских интерьерах.

• Треугольник Серпинского
• 

  Построение итеративным методом

• 

  Построение методом хаоса

• 

  Иллюстрация свойства самоподобия (рекурсии)

См. также

• Ковёр Серпинского

Литература

• Jones, O. The grammar of ornament. Day and Son, London. - 1856.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.

Ссылки

• Медиафайлы по теме Треугольник Серпинского на Викискладе
• Weisstein, Eric W. Sierpiński Sieve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.