Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Построение

Итеративный метод

Построение треугольника Серпинского

Середины сторон равностороннего треугольника $T_0$ соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество $T_1$, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество $T_2$, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность $T_0\supset T_1\supset\dots\supset T_n\supset\dots$, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Метод хаоса

1. Задаются координаты аттракторов - вершин исходного треугольника $T_0$.
2. Вероятностное пространство $(0; 1)$ разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
3. Задаётся некоторая начальная точка $P_0$, лежащая внутри треугольника $T_0$.
4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.
   1. Генерируется случайное число $n \in (0; 1)$.
   2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
   3. Строится точка $P_i$ с новыми координатами: $x_i = \frac{x_{i-1} + x_A}{2}; y_i = \frac{y_{i-1} + y_A}{2}$, где: $x_{i-1}, y_{i-1}$ – координаты предыдущей точки $P_{i-1}$; $x_A, y_A$ – координаты активной точки-аттрактора.
5. Возврат к началу цикла.

Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.

Пример кода (VBA для CAD-систем)  

Sub Sieve()
Dim pointObj As AcadPoint
Dim location(0 To 2) As Double	'Координаты искомых точек xi, yi, zi; zn = 0
 
Dim i As Long		'Счётчик итераций
Dim R As Double		'Случайность
Dim A(0 To 1) As Double 'Координаты вершин
Dim B(0 To 1) As Double
Dim C(0 To 1) As Double
 
A(0) = 0		'Cos(pi / 2)
A(1) = 1		'Sin(pi / 2)
B(0) = -0.866		'Cos(7 * pi / 6)
B(1) = -0.5		'Sin(7 * pi / 6)
C(0) = 0.866		'Cos(11 * pi / 6)
C(1) = -0.5		'Sin(11 * pi / 6)
 
For i = 1 To 100000	
 R = Rnd(1)
 If R < 0,33 Then
  location(0) = (location(0) + A(0)) / 2
  location(1) = (location(1) + A(1)) / 2
 ElseIf R < 0,67 Then
  location(0) = (location(0) + B(0)) / 2
  location(1) = (location(1) + B(1)) / 2
 Else
  location(0) = (location(0) + C(0)) / 2
  location(1) = (location(1) + C(1)) / 2
End If
Set pointObj = ThisDrawing.ModelSpace.AddPoint(location)
Next i
End Sub

Свойства

• Треугольник Серпинского замкнут.
• Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
• Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть, нецелую) Хаусдорфову размерность $=\ln3/\ln2\approx 1,585$. В частности,
  • треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.

Интересные факты

• Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
• Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии.

• Треугольник Серпинского
• 

  Построение итеративным методом

• 

  Построение методом хаоса

• 

  Иллюстрация свойства самоподобия

Ссылки

• Треугольник Серпинского: тематические медиафайлы на Викискладе
• Weisstein, Eric W. Sierpiński Sieve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.