Треугольник Серпинского
Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году[1]. Также известен как «салфетка» Серпинского.
Построение[править | править код]
Итеративный метод[править | править код]
Середины сторон равностороннего треугольника соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность , пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.
Метод хаоса[править | править код]
- 1. Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника .
- 2. Вероятностное пространство разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
- 3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка .
- 4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.
- 1. Генерируется случайное число .
- 2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
- 3. Строится точка с новыми координатами: , где:
- — координаты предыдущей точки ; — координаты активной точки-аттрактора.
- 5. Возврат к началу цикла.
Свойства[править | править код]
- Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
- Треугольник Серпинского замкнут.
- Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
- Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
- Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность . В частности,
- треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.
Факты[править | править код]
![]() | Этот раздел представляет собой неупорядоченный список разнообразных фактов о предмете статьи. |
В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. |
- Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
- Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии[2].
- Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений Георгия Нарбута, в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала «Мистецтво» (1919—1920 гг.).
- Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в интерьере синагоги Бен-Эзра, Каир, Египет
- На основе треугольника Серпинского могут быть изготовлены многодиапазонные фрактальные антенны.[3][4]
- Четыре первых итерации фрактальных треугольников Серпинского использовались в орнаментах геометрической мозаики стиля косматеско в средневековых соборах Италии (начиная с XII века)[5][6][7], арабских и персидских интерьерах[5].
- Треугольник Серпинского
Иллюстрация свойства самоподобия (рекурсии)
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 160, Janvier - Juin 1915. - Pp. 302 – 305. - [1]
- ↑ What is the Game of Life?
- ↑ Слюсар В. И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. — 2002. — № 9. — С. 54 −56., Конструктор. — 2002. — № 8. — С. 6 — 8. [2]
- ↑ Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569
- ↑ 1 2 The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856. [3]
- ↑ Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat — Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4. — P. 113—122. — [4]
- ↑ Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018 — Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. — Pp. 595—609. -[5]
Литература[править | править код]
- Jones, O. The grammar of ornament. Day and Son, London. - 1856.
- Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
Ссылки[править | править код]
Медиафайлы по теме Треугольник Серпинского на Викискладе
- Weisstein, Eric W. Sierpiński Sieve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.