Треугольное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Números triangulares.png

Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника (см. рисунок). Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел.

Последовательность треугольных чисел для начинается так:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … (последовательность A000217 в OEIS)

Свойства[править | править вики-текст]

  • Формулы для n-го треугольного числа:
    • ;
    • ;
    •  — биномиальный коэффициент.
Например, 2016 — это треугольное число: .
  • Рекуррентная формула для n-го треугольного числа:
    .
  • Сумма двух последовательных треугольных чисел — это полный квадрат, то есть
    .
Например
6 + 10 = 16 Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg     10 + 15 = 25 Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg
  • Каждое чётное совершенное число является треугольным.
  • Любое целое неотрицательное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировано в 1638 году Ферма в письме к Мерсенну, а доказано в 1796 году Гауссом.
  • Целое число m является треугольным тогда и только тогда, когда число является квадратным.

Обобщения[править | править вики-текст]

Треугольные числа являются частным случаем фигурных чисел.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]