Триакисоктаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Триакисоктаэдр
Triakisoctahedron.jpg
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип каталаново тело
Свойства выпуклый, изоэдральный
Комбинаторика
Элементы
24 грани
36 рёбер
14 вершин
Грани равнобедренные треугольники:
Грань триакисоктаэдра
Конфигурация вершины 8(33)
6(38)
Конфигурация грани V3.8.8
Развёртка
Triakisoctahedron net.png
Двойственный многогранник усечённый куб
Классификация
Обозначения kO
Группа симметрии Oh (октаэдрическая)
Commons-logo.svg Триакисоктаэдр на Викискладе

Триакисокта́эдр (от др.-греч. τριάχις — «трижды», οκτώ — «восемь» и ἕδρα — «грань»), также называемый тригон-триоктаэдром,полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому кубу. Составлен из 24 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен а два других

Имеет 14 вершин; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся своими острыми углами по 8 граней, в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся тупыми углами по 3 грани.

У триаксоктаэдра 36 рёбер — 12 «длинных» (расположенных так же, как рёбра октаэдра) и 24 «коротких» (вместе образующих фигуру, изоморфную — но не идентичную — остову ромбододекаэдра). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен

Триакисоктаэдр можно получить из октаэдра, приложив к каждой его грани правильную треугольную пирамиду с основанием, равным грани октаэдра, и высотой, которая в раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 3 грани вместо каждой из 8 граней исходного — с чем и связано его название.

Триакисоктаэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла[1]; гамильтонова пути для всех шести также нет.

Метрические характеристики[править | править код]

Если «короткие» рёбра триакисоктаэдра имеют длину , то его «длинные» рёбра имеют длину а площадь поверхности и объём выражаются как

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

Описать около триакисоктаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Примечательные свойства[править | править код]

Триакисоктаэдр изоморфен звёздчатому октаэдру; это означает, что между гранями, рёбрами и вершинами двух данных многогранников можно установить взаимно однозначное соответствие так, что соответствующие рёбра будут соединять соответствующие вершины и так далее. Другими словами, если бы «шарнирно соединённые» друг с другом грани и рёбра многогранника можно было сжимать и растягивать (но не гнуть), триакисоксаэдр удалось бы превратить в звёздчатый октаэдр — и наоборот.

Примечания[править | править код]

  1. Weisstein, Eric W. Графы каталановых тел (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки[править | править код]