Тригонометрическая подстановка

В математике тригонометрическая подстановка — это подстановка из тригонометрических функций для других выражений. В исчислении тригонометрическая подстановка — это метод вычисления интегралов. Более того, можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальное выражение. Как и другие методы интегрирования путём подстановки, при вычислении определённого интеграла может быть проще полностью вывести первообразную перед применением границ интегрирования.

Случай I: Подынтегральные выражения, содержащие a² − x²

Пусть $x=a\sin \theta$, и используйте тождество $1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta$.

Примеры Случая I

Геометрическая конструкция для Случая I

Пример 1

В интеграле

$\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},$

можно использовать

$x=a\sin \theta ,\quad dx=a\cos \theta \,d\theta ,\quad \theta =\arcsin {\frac {x}{a}}.$

Тогда

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int d\theta \\[6pt]&=\theta +C\\[6pt]&=\arcsin {\frac {x}{a}}+C.\end{aligned}}$

Вышеупомянутый шаг требует, чтобы $a>0$ и $\cos \theta >0$. Мы можем выбрать $a$ в качестве главного корня $a^{2}$ и наложить ограничение $-\pi /2<\theta <\pi /2$ с помощью функции обратного синуса.

Для определённого интеграла нужно выяснить, как меняются границы интегрирования. Например, если $x$ изменяется от $0$ до $a/2$, тогда $\sin \theta$ изменяется от $0$ до $1/2$, поэтому $\theta$ изменяется от $0$ до $\pi /6$. Тогда

$\int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.$

При выборе границ требуется некоторая осторожность. Поскольку приведённая выше интеграция требует, чтобы $-\pi /2<\theta <\pi /2$, значение $\theta$ может изменяться только от $0$ до $\pi /6$. Пренебрегая этим ограничением, можно было бы выбрать $\theta$ для перехода от $\pi$ к $5\pi /6$, что привело бы фактически к отрицательному значению.

В качестве альтернативы можно полностью вычислить неопределённые интегралы перед применением граничных условий. В этом случае первообразная даёт

$\int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right){\Biggl |}_{0}^{a/2}=\arcsin \left({\frac {1}{2}}\right)-\arcsin(0)={\frac {\pi }{6}}$

как прежде.

Пример 2

Интеграл

$\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx,$

можно оценить путём представления $x=a\sin \theta ,\,dx=a\cos \theta \,d\theta ,\,\theta =\arcsin {\frac {x}{a}},$

где $a>0$, так что ${\sqrt {a^{2}}}=a$ и $-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$ по диапазону арксинуса, так что $\cos \theta \geq 0$ и ${\sqrt {\cos ^{2}\theta }}=\cos \theta$.

Тогда

${\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(\cos ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\cos \theta )(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\theta +\sin \theta \cos \theta )+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C.\end{aligned}}$

Для определённого интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с помощью уравнения $\theta =\arcsin {\frac {x}{a}}$ со значениями в диапазоне $-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$. Или же можно применить граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определённый интеграл

$\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx,$

можно оценить, подставив $x=2\sin \theta ,\,dx=2\cos \theta \,d\theta$, с оценками, определёнными с помощью $\theta =\arcsin {\frac {x}{2}}$, $\arcsin(1/2)=\pi /6$ и $\arcsin(-1/2)=-\pi /6$.

Тогда

${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4-4\sin ^{2}\theta }}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(\cos ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}(2\cos \theta )(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&=2\left[\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right]_{-\pi /6}^{\pi /6}=[2\theta +\sin 2\theta ]{\Biggl |}_{-\pi /6}^{\pi /6}\\[6pt]&=\left({\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\right)-\left(-{\frac {\pi }{3}}+\sin \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

С другой стороны, прямое применение граничных членов к ранее полученной формуле для первообразных даёт

${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\left[{\frac {2^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\right]_{-1}^{1}\\[6pt]&=\left(2\arcsin {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)-\left(2\arcsin \left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {-1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)\\[6pt]&=\left(2\cdot {\frac {\pi }{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)-\left(2\cdot \left(-{\frac {\pi }{6}}\right)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\[6pt]&={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}\end{aligned}}$

как прежде.

Случай II: Подынтегральные выражения, содержащие a² + x²

Примеры Случая II

Геометрическая конструкция для Случая II

Пример 1

В интеграле

$\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}$

можно написать

$x=a\tan \theta ,\quad dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\quad \theta =\arctan {\frac {x}{a}},$

так что интеграл становится

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {d\theta }{a}}\\[6pt]&={\frac {\theta }{a}}+C\\[6pt]&={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C,\end{aligned}}$

при условии $a\neq 0$.

Для определённого интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с помощью уравнения $\theta =\arctan {\frac {x}{a}}$ со значениями в диапазоне $-{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}$. Или же можно применить граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определённый интеграл

$\int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2}}}\,dx$

можно оценить, подставив $x=\tan \theta ,\,dx=\sec ^{2}\theta \,d\theta$, с оценками, определёнными с помощью $\theta =\arctan x$, $\arctan 0=0$ и $\arctan 1=\pi /4$.

Тогда

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2}}}&=4\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}d\theta \\[6pt]&=(4\theta ){\Bigg |}_{0}^{\pi /4}=4\left({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi .\end{aligned}}$

Между тем, прямое применение граничных членов к формуле для первообразных даёт

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2}}}\,dx&=4\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\&=4\left[{\frac {1}{1}}\arctan {\frac {x}{1}}\right]_{0}^{1}\\&=4(\arctan x){\Bigg |}_{0}^{1}\\&=4(\arctan 1-\arctan 0)\\&=4\left({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi ,\end{aligned}}$

так же, как прежде.

Пример 2

Интеграл

$\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,{dx}$

можно оценить путём представления $x=a\tan \theta ,\,dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\,\theta =\arctan {\frac {x}{a}},$

где $a>0$, так что ${\sqrt {a^{2}}}=a$ и $-{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ по диапазону арктангенса, так что $\sec \theta >0$ и ${\sqrt {\sec ^{2}\theta }}=\sec \theta$.

Тогда

${\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\sec \theta )(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \sec ^{3}\theta \,d\theta .\\[6pt]\end{aligned}}$

Интеграл секанса в кубе можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Как результат

${\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\cdot {\frac {x}{a}}+\ln \left|{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}+{\frac {x}{a}}\right|\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+a^{2}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{a}}\right|\right)+C.\end{aligned}}$

Случай III: Подынтегральные выражения, содержащие x² − a²

Пусть $x=a\sec \theta$ и используется тождество $\sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .$

Примеры Случая III

Геометрическая конструкция для Случая III

Интегралы типа

$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}$

также можно вычислить частичными дробями, а не тригонометрическими подстановками. Однако интеграл

$\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx$

нельзя. В этом случае подходящей подстановкой будет:

$x=a\sec \theta ,\,dx=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta ,\,\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}},$

где $a>0$, так что ${\sqrt {a^{2}}}=a$ и $0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}$, предполагая $x>0$, так что $\tan \theta \geq 0$ и ${\sqrt {\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta$.

Тогда

${\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta -a^{2}}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}(\sec ^{2}\theta -1)}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}\tan ^{2}\theta }}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int a^{2}\sec \theta \tan ^{2}\theta \,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec \theta )(\sec ^{2}\theta -1)\,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec ^{3}\theta -\sec \theta )\,d\theta .\end{aligned}}$

Можно вычислить интеграл функции секанс, умножив числитель и знаменатель на $(\sec \theta +\tan \theta )$ и интеграл секанса в кубе по частям. Как результат

${\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)-a^{2}\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta -\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {x}{a}}\cdot {\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}-\ln \left|{\frac {x}{a}}+{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}\right|\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-a^{2}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{a}}\right|\right)+C.\end{aligned}}$

Если ${\frac {\pi }{2}}<\theta \leq \pi$, что происходит, когда $x<0$ с заданным диапазоном арксеканса, то $\tan \theta \leq 0$, что в данном случае означает ${\sqrt {\tan ^{2}\theta }}=-\tan \theta$.

Подстановки, исключающие тригонометрические функции

Подстановка может использоваться для удаления тригонометрических функций.

Например,

${\begin{aligned}\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(u,\pm {\sqrt {1-u^{2}}}\right)\,du&&u=\sin(x)\\[6pt]\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\mp {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(\pm {\sqrt {1-u^{2}}},u\right)\,du&&u=\cos(x)\\[6pt]\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}f\left({\frac {2u}{1+u^{2}}},{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)\,du&&u=\tan \left({\tfrac {x}{2}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}$

Последняя подстановка известна как подстановка Вейерштрасса, в которой используются формулы тангенса половинного угла.

Например,

${\begin{aligned}\int {\frac {4\cos x}{(1+\cos x)^{3}}}\,dx&=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}{\frac {4\left({\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)^{3}}}\,du=\int (1-u^{2})(1+u^{2})\,du\\&=\int (1-u^{4})\,du=u-{\frac {u^{5}}{5}}+C=\tan {\frac {x}{2}}-{\frac {1}{5}}\tan ^{5}{\frac {x}{2}}+C.\end{aligned}}$

Гиперболическая подстановка

Подстановки гиперболических функций также могут использоваться для упрощения интегралов.

В интеграле $\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx$ можно сделать подстановку $x=a\sinh {u}$, $dx=a\cosh u\,du.$

Затем, используя тождества $\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$ и $\sinh ^{-1}{x}=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),$

можно получить

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx&=\int {\frac {a\cosh u}{\sqrt {a^{2}+a^{2}\sinh ^{2}u}}}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a{\sqrt {1+\sinh ^{2}{u}}}}}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a\cosh u}}\,du\\[6pt]&=u+C\\[6pt]&=\sinh ^{-1}{\frac {x}{a}}+C\\[6pt]&=\ln \left({\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1}}+{\frac {x}{a}}\right)+C\\[6pt]&=\ln \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+x}{a}}\right)+C.\end{aligned}}$

См. также

• Универсальная тригонометрическая подстановка
• Подстановки Эйлера