Тригонометрическая формула Виета

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тригонометрическая формула Виета — один из способов решения кубического уравнения

Первым решение этого уравнения нашел Никколо Тарталья, Джероламо Кардано опубликовал его решение в 1545 году под своим именем (см. формула Кардано). Однако формула Виета более удобна для практического применения:

Формула[править | править код]

  • Вычисляем
  • Вычисляем
  • Если , то вычисляем и имеем три действительных корня:
  • Если , то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны следующие случаи в зависимости от знака :
    • :
      (действительный корень)
      (пара комплексных корней)
    • :
      (действительный корень)
      (пара комплексных корней)
    • :
    (действительный корень)
    (пара комплексных корней)
  • Если , то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

Вывод формулы[править | править код]

  • Исходный многочлен имеет вид .
  • Подстановкой приводим многочлен к виду , где и .
  • Ищем решение уравнения в виде , получаем уравнение .
  • Заметим что в случае при это уравнение приобретает вид .
  • Используя тригонометрическое тождество приходим к уравнению вида .
  • Решение этого уравнения имеет вид , где пробегает значения 1, 2, 3.
  • Подставляя полученные значения в выражение для переменной , получаем ответ