Тригонометрические преобразования Фурье

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Синус-преобразование Фурье и косинус-преобразование Фурье — одни из видов преобразований Фурье, не использующих комплексные числа.

Определение[править | править вики-текст]

Синус-преобразование Фурье[править | править вики-текст]

Синус-преобразование Фурье или функции равно

,
где
 — время,  — частота колебаний.

Функция нечётна по , то есть

для любого .

Косинус-преобразование Фурье[править | править вики-текст]

Косинус-преобразование Фурье или функции равно

где
 — время,  — частота колебаний.

Функция чётна по , то есть для любого .

Обратное синус- и косинус-преобразование Фурье[править | править вики-текст]

Изначальная функция может быть найдена по формуле

Используя формулу сложения для косинуса, получим, что

,
где
и  — право- и левосторонние пределы соответственно.

Если функция чётная, то часть формулы с синусом обращается в нуль, если нечётная, то исчезает косинус.

Расширение на комплексные числа[править | править вики-текст]

Сегодня чаще используется формула синус- и косинус-преобразования Фурье в комплексном виде

Используя формулу Эйлера, получим

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211