Тригонометрические тождества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.

Пример шести тригонометрических функций угла θ = 0.7 радиан, построенный в единичной окружности. Величины, отмеченные 1, Sec(θ) и Csc(θ) равны длинам сегментов луча, исходящего из центра окружности. Величины Sin(θ), Tan(θ) и 1 равны высотам над осью x, величины Cos(θ), 1 и Cot(θ) равны длинам сегментов оси x от центра окружности.

Основные тригонометрические формулы[править | править код]

Формула Допустимые значения аргумента
1.1 (то есть любое значение α)
1.2 при
1.3
1.4
  • Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
  • Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на и соответственно.
  • Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов[править | править код]

Иллюстрация форм сложения и вычитания синусов и косинусов
Иллюстрация форм сложения тангенсов.
Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1
2.2
2.3
2.4

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Формулы двойного угла и половинного угла[править | править код]

Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)(2.4), если β приравнять α:

Формулы двойного угла
3.1
3.2
3.3
3.4

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла:

Формулы половинного угла
3.5
3.6
3.7

Формулы тройного угла[править | править код]

Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)(2.4), если β приравнять 2α:

Формулы тройного угла
4.1
4.2
4.3
4.4

Формулы понижения степени[править | править код]

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

Синус Косинус
5.1 5.5
5.2 5.6
5.3 5.7
5.4 5.8
Произведение
5.9
5.10
5.11
5.12

Формулы преобразования произведения функций[править | править код]

Формулы преобразования произведений функций
6.1
6.2
6.3

Формулы преобразования суммы функций[править | править код]

Формулы преобразования суммы функций
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при

(7.6).

Решение простых тригонометрических уравнений[править | править код]

Если  — вещественных решений нет.
Если  — решением является число вида где
Если  — вещественных решений нет.
Если  — решением является число вида
Решением является число вида
Решением является число вида

Универсальная тригонометрическая подстановка[править | править код]

Нижеприведённые тождества имеют смысл, только когда тангенс имеет смысл (то есть при ).

Аналогичные соотношения имеют место и для котангенса ():

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)[править | править код]

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

где и не равны нулю одновременно, — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

Примечание. Из вышеприведённой системы при следует, что , однако нельзя всегда считать, что (подробнее здесь[en]). Нужно учитывать знаки и чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол

Представление тригонометрических функций в комплексной форме[править | править код]

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:

где  — основание натурального логарифма,

 — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом:

Отсюда следует, что

Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.

См. также[править | править код]