Тригонометрические тождества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.

Пример шести тригонометрических функций угла θ = 0.7 радиан, построенный в единичной окружности. Величины, отмеченные 1, Sec(θ) и Csc(θ) равны длинам сегментов луча, исходящего из центра окружности. Величины Sin(θ), Tan(θ) и 1 равны высотам над осью x, величины Cos(θ), 1 и Cot(θ) равны длинам сегментов оси x от центра окружности.

Основные тригонометрические формулы[править | править код]

Формула Допустимые значения аргумента
1.1
1.2
1.3
1.4
  • Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
  • Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на и соответственно.
  • Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов[править | править код]

Формулы для двух аргументов[править | править код]

Иллюстрация форм сложения и вычитания синусов и косинусов
Иллюстрация форм сложения тангенсов.
Формула Допустимые значения аргумента
2.1
2.2
2.3 , ,
2.4 , ,

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Формулы для трёх аргументов[править | править код]

Формула Допустимые значения аргумента
2.5 , ,
2.6 , ,
2.7 , , ,
2.8 , , ,

Формулы кратных углов[править | править код]

Формулы кратных углов следуют из формул сложения при равенстве аргументов.

Формулы двойного угла[править | править код]

Формула Допустимые значения аргумента
3.1
3.2
3.3
3.4

Формулы тройного угла[править | править код]

Формулы тройного угла бывает удобным использовать в виде произведения, к которому их можно привести, применяя формулы преобразования суммы ниже.

Формула Допустимые значения аргумента
3.5
3.6
3.7
3.8

Формулы четверного угла[править | править код]

Формула Допустимые значения аргумента
3.9
3.10
3.11
3.12

Общий случай[править | править код]

Формула Допустимые значения аргумента
3.13
3.14
3.15
3.16

Формулы половинного угла[править | править код]

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла:

Формулы половинного угла
4.1
4.2
4.3
4.4

(!) В формулах половинного угла знаки перед радикалами следует брать в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

 В формуле и аналогичной для котангенса, левая и правая части имеют разные области определения и, следовательно, их неосторожное использование может приводить к приобретению корней!

Формулы понижения степени[править | править код]

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

Синус Косинус Произведение
5.1 5.5 5.9
5.2 5.6 5.10
5.3 5.7 5.11
5.4 5.8 5.12

Формулы преобразования произведения функций[править | править код]

Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2).

Синус и косинус Тангенс и котангенс
6.1 6.4
6.2 6.5
6.3 6.6

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

Формула
6.7
6.8
6.9
6.10

Формулы преобразования суммы функций[править | править код]

Синус и косинус Тангенс и котангенс
7.1 7.4
7.2 7.5
7.3 7.6

Справедливы также следующие частные случаи перехода от суммы к произведению и следствия из них:

Формула Допустимые значения аргумента
7.7.1 , ,
7.7.2
7.7.3
7.8.1 , ,
7.8.2
7.8.3

Решение простых тригонометрических уравнений[править | править код]

Если  — вещественных решений нет.
Если  — решением является число вида где
Если  — вещественных решений нет.
Если  — решением является число вида
Решением является число вида
Решением является число вида

Универсальная тригонометрическая подстановка[править | править код]

Любая тригонометрическая функция может быть выражена через тангенс или котангенс половинного угла:

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)[править | править код]

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

где и не равны нулю одновременно, — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

Примечание. Из вышеприведённой системы при следует, что , однако нельзя всегда считать, что , так как арктангенс определяет угол от до , а угол может быть, вообще говоря, любым. Нужно учитывать знаки и чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол , в результате чего добавлять или убавлять при необходимости.

Представление тригонометрических функций в комплексной форме[править | править код]

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:

где  — основание натурального логарифма,

 — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом:

Отсюда следует, что

Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.

См. также[править | править код]