Тригонометрия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тригономе́трия (от др.-греч. τρίγωνον «треугольник» и μετρέω «измеряю», то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии (науке, исследующей размеры и форму Земли).

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

История[править | править вики-текст]

Древняя Греция[править | править вики-текст]

Первые тригонометрические таблицы видимо были составлены Гиппархом, который сейчас известен как «отец тригонометрии»[2].

Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме. Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sinα/sinβ < α/β < tgα/tgβ, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.

Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин».

Позднее Клавдий Птолемей (90 — 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93-е предложение «Данных» Евклида.

Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха.

Средневековая Индия[править | править вики-текст]

Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1,

\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha),

\sin (\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta.

Индийцы также знали формулы для кратных углов \sin n\alpha,\qquad\cos n\alpha, где n = 2, 3, 4, 5.

Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в XVI веке добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

С VIII века учёные стран Ближнего и Среднего Востока развили тригонометрию своих предшественников. В середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

Определение тригонометрических функций[править | править вики-текст]

Тригонометрические функции угла θ внутри единичной окружности

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).

  • Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  • Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  • Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
  • Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
  • Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
  • Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до \pi \over 2 радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол \theta (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.

Свойства функции синус[править | править вики-текст]

Синус
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y) = R.
  2. Множество значений — промежуток [−1; 1]: E(y) = [−1;1].
  3. Функция  y = \sin \left( \alpha \right) является нечётной:  \sin \left( - \alpha \right)  =  - \sin \alpha \,.
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен 2\pi:  \sin \left( \alpha + 2 \pi \right) = \sin \left( \alpha \right) .
  5. График функции пересекает ось Ох при  \alpha = \pi n \,, n \in Z \,.
  6. Промежутки знакопостоянства: y > 0 при  \left( 2\pi n + 0; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z и  y < 0 при \left( \pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z .
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: ( \sin \alpha )' = \cos \alpha \,
  8. Функция  y = \sin \alpha возрастает при  \alpha \in  \left( - \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z , и убывает при  \alpha \in \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z .
  9. Функция имеет минимум при  \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in Z и максимум при  \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in Z .

Свойства функции косинус[править | править вики-текст]

Косинус
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y) = R.
  2. Множество значений — промежуток [−1; 1]: E(y) = [−1;1].
  3. Функция  y = \cos \left( \alpha \right) является чётной:  \cos \left( - \alpha \right)  =  \cos \alpha \,.
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен 2\pi:  \cos \left( \alpha + 2 \pi \right) = \cos \left( \alpha \right) .
  5. График функции пересекает ось Ох при  \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in Z \,.
  6. Промежутки знакопостоянства: y > 0 при  \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z и  y < 0 при \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z .
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: ( \cos \alpha )' = -\sin \alpha \,
  8. Функция  y = \cos \alpha возрастает при  \alpha \in  \left( -\pi + 2\pi n; 2\pi n \right) \,, n \in Z , и убывает при  \alpha \in \left( 2\pi n; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z .
  9. Функция имеет минимум при  \alpha = \pi + 2\pi n \,, n \in Z и максимум при  \alpha = 2\pi n \,, n \in Z .

Свойства функции тангенс[править | править вики-текст]

Тангенс
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y) = R, кроме чисел  \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n .
  2. Множество значений — множество всех действительных чисел:  E(y) = R .
  3. Функция  y = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) является нечётной:  \mathrm{tg} \left( - \alpha \right)  =  - \mathrm{tg}\ \alpha \,.
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен \pi:  \mathrm{tg} \left( \alpha + \pi \right) = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) .
  5. График функции пересекает ось Ох при  \alpha = \pi n \,, n \in Z \,.
  6. Промежутки знакопостоянства:  y > 0 при  \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z и  y < 0 при \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right) \,, n \in Z .
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: ( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},
  8. Функция  y = \mathrm{tg}\ \alpha возрастает при  \alpha \in  \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z .

Свойства функции котангенс[править | править вики-текст]

Котангенс
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y) = R, кроме чисел  \alpha = \pi n .
  2. Множество значений — множество всех действительных чисел:  E(y) = R .
  3. Функция  y = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) является нечётной:  \mathop{\operatorname{ctg}} \left( - \alpha \right)  =  - \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha \,.
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен \pi:  \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha + \pi \right) = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) .
  5. График функции пересекает ось Ох при  \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in Z \,.
  6. Промежутки знакопостоянства:  y > 0 при  \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z и  y < 0 при \left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in Z .
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: ( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x}.
  8. Функция  y = \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha убывает при  \alpha \in  \left( \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in Z .

Применение тригонометрии[править | править вики-текст]

Секстант — навигационный измерительный инструмент, используемый для измерения высоты светила над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение.

Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах. Синус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн.

Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел (следовательно, и в криптологии), в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Стандартные тождества[править | править вики-текст]

Тождества — это равенства, справедливые при любых значениях входящих в них переменных.

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \ .
\sec^2 A - \mathop{\operatorname{tg}}^2 A = 1 \ .
\csc^2 A - \mathop{\operatorname{ctg}}^2 A = 1 \ .

Формулы преобразования суммы углов[править | править вики-текст]

\sin (A \pm B) = \sin A \ \cos B \pm \cos A \ \sin B.
\cos (A \pm B) = \cos A \ \cos B \mp \sin A \ \sin B.
\mathop{\operatorname{tg}} (A \pm B) = \frac{ \mathop{\operatorname{tg}} A \pm \mathop{\operatorname{tg}} B }{ 1 \mp \mathop{\operatorname{tg}} A  \ \mathop{\operatorname{tg}} B}.
\mathop{\operatorname{ctg}} (A \pm B) = \frac{ \mathop{\operatorname{ctg}} A \ \mathop{\operatorname{ctg}} B \mp 1}{ \mathop{\operatorname{ctg}} B \pm \mathop{\operatorname{ctg}} A } .

Общие формулы[править | править вики-текст]

Треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противоположными углами A, B, C

В следующих тождествах, A, B и C являются углами треугольника; a, b, c — длины сторон треугольника, лежащие напротив соответствующих углов.

Теорема синусов[править | править вики-текст]

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного треугольника

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.

Теорема косинусов[править | править вики-текст]

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами a, b, c и углом \alpha, противолежащим стороне a,

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,

или:

\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\,

Теорема тангенсов[править | править вики-текст]

\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}

Формула Эйлера[править | править вики-текст]

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа x выполнено следующее равенство:

~e^{ix}=\cos x+i\sin x,

где e — основание натурального логарифма, i — мнимая единица. Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2},
\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:

e^{ix} = \cos x + i \sin x \;,
e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;.

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

 \cos iy =  {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \operatorname{ch} y ,
 \sin iy =  {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\operatorname{sh} y.

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением.

Решение простых тригонометрических уравнений[править | править вики-текст]

  •  \sin x = a.
Если |a|>1 — вещественных решений нет.
Если |a| \leqslant 1 — решением является число вида x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.
  •  \cos x = a.
Если |a|>1 — вещественных решений нет.
Если |a| \leqslant 1 — решением является число вида x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z.
  •  \operatorname{tg}\, x = a.
Решением является число вида x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.
  •  \operatorname{ctg}\, x = a.
Решением является число вида x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.

Сферическая тригонометрия[править | править вики-текст]

Важным частным разделом тригонометрии, используемым в астрономии, геодезии, навигации и других отраслях, является сферическая тригонометрия, рассматривающая свойства углов между большими кругами на сфере и дуг этих больших кругов. Геометрия сферы существенно отличается от евклидовой планиметрии; так, сумма углов сферического треугольника, вообще говоря, отличается от 180°, треугольник может состоять из трёх прямых углов. В сферической тригонометрии длины сторон треугольника (дуги больших кругов сферы) выражаются посредством центральных углов, соответствующих этим дугам. Поэтому, например, сферическая теорема синусов выражается в виде

\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C},

и существуют две теоремы косинусов, двойственные друг другу.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1982.
  2. Boyer. Greek Trigonometry and Mensuration // . — 1991. — P. 162.

Литература[править | править вики-текст]

английская
  • Boyer Carl B. A History of Mathematics. — Second Edition. — John Wiley & Sons, Inc., 1991. — ISBN 0-471-54397-7.
  • Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.
  • Weisstein, Eric W. «Trigonometric Addition Formulas». Wolfram MathWorld. Weiner.