Тришестиугольная мозаика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Тришестиугольная мозаика
1-uniform n7.svg
Тип полуправильная мозаика
Конфигурация
вершины
Trihexagonal tiling vertfig.png
(3.6)2
Символ Шлефли r{6,3} или
h2{6,3}
Символ
Визоффа
[en]
2 | 6 3
3 3 | 3
Диаграмма
Коксетера — Дынкина
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png = CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Симметрии p6m[en], [6,3], (*632)
Симметрии вращения p6[en], [6,3]+, (632)
p3[en], [3[3]]+, (333)
Обозначение Бауэрса That
Двойственные
соты
ромбическая
мозаика
Свойства вершинно транзитивная
рёберно транзитивная[en]*

Тришестиугольная мозаика — это одна из 11 однородных мозаик на евклидовой плоскости из правильных многоугольников[1]. Мозаика состоит из правильных треугольников и правильных шестиугольников, расположенных так, что каждый шестиугольник окружён треугольниками, и наоборот. Название мозаики вызвано тем фактом, что она комбинирует правильную шестиугольную мозаику и правильную треугольную мозаику. Два шестиугольника и два треугольника чередуются вокруг каждой вершины, а рёбра образуют бесконечную конфигурацию прямых. Двойственная мозаика — ромбическая[2].

Мозаика и её место в классификации однородных мозаик были приведены Иоганном Кеплером ещё в 1619 в его книге Harmonices Mundi[3]. Узор давно использовался в японском лозоплетении, где он назывался кагомэ. Японский термин для этого узора был позаимствован физиками, где он получил название решётка кагомэ. Узор встречается в кристаллических структурах некоторых минералов. Конвей использовал название hexadeltille (шести-дельта-мозаика), скомбинировав части слов hex-/deltа/tille[4].

Кагомэ[править | править код]

Японская корзина с узором кагомэ

Кагомэ (яп. 籠目) — это традиционный японский узор плетения бамбука. Название состоит из слов каго (корзина) и мэ (глаз), последнее относится к отверстиям в бамбуковой корзине.

Детальный вид плетения кагомэ

Кагомэ представляет собой переплетённую конфигурацию прутьев, образующая узор тришестиугольной мозаики. Плетение даёт кагоме симметрию хиральной группы обоев[en], группы p6.

Решётка кагомэ[править | править код]

Термин решётка кагомэ ввёл японский физик Коди Хусими, и термин впервые появился в статье 1951, написанной Иширо Сёдзи под руководством Хусими[5]. Решётка кагомэ в этом смысле состоит из вершин и рёбер тришестиугольной мозаики. Вопреки названию, эти пересечения не образуют математическую решётку.

Связанная трёхмерная структура, образованная вершинами и рёбрами четвертькубических сот[en], заполняющих пространство правильными тетраэдрами и усечёнными тетраэдрами, называется гиперрешёткой кагомэ [6]. Она представляется вершинами и рёбрами четвертькубических сот[en]. Структура содержит четыре множества параллельных плоскостей, и каждая плоскость является двумерной решёткой кагомэ. Другое представление в трёхмерном пространстве имеет параллельные уровни двумерных решёток и называется орторомбическая решётка кагомэ[6]. тришестиугольные призматические соты представляют рёбра и вершины этой решётки.

Некоторые минералы, а именно ярозит и гербертсмитит, содержат двумерные решётки или трёхмерные решётки кагомэ, образованные из атомов в кристаллической структуре. Эти минералы показывают физические свойства, связанные с магнитами с геометрической фрустрацией. Например, распределение спинов магнитных ионов в Co3V2O8 располагается в виде решётки кагомэ и показывает удивительное магнитное поведение при низких температурах[7]. Термин имеет сейчас широкое распространение в научной литературе, особенно в теоретическом изучении магнитных свойств теоретической решётки кагомэ.

Симметрия[править | править код]

Треугольные 30-60-90 фундаментальные области симметрии p6m (*632)

Тришестиугольная мозаика имеет символ Шлефли r{6,3} и диаграмму Коксетера — Дынкина CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png, символизирующие факт, что мозаика является полноусечённой шестиугольной мозаикой, {6,3}. Её симметрии можно описать группой обоев[en] p6mm, (*632)[8]. Мозаика может быть получена построением Визоффа из фундаментальных областей отражений этой группы. Тришестиугольная мозаика является квазиправильной мозаикой, чередующей два типа многоугольников и имеющей конфигурацию вершины (3.6)2. Мозаика является также однородной мозаикой, одной из восьми, полученных из правильной шестиугольной мозаики.

Однородные раскраски[править | править код]

Существует две различные однородные раскраски тришестиугольной мозаики. Эти две раскраски, если указать индексы цветов для 4 граней вокруг вершины (3.6.3.6), имеют наборы индексов 1212 и 1232[9]. Вторая раскраска называется скошенной шестиугольной мозаикой, h2{6,3}, с двумя цветами треугольников из симметрии (*333) группы обоев p3m1[en]

Симметрия p6m, (*632) p3m, (*333)
Раскраска Uniform polyhedron-63-t1.png Uniform tiling 333-t12.png
фундаментальная
область
632 fundamental domain t1.png 333 fundamental domain t01.png
символ
Визоффа
[en]
2 | 6 3 3 3 | 3
диаграмма
Коксетера
— Дынкина
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png = CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
символ
Шлефли
r{6,3} r{3[3]} = h2{6,3}

Топологически эквивалентные мозаики[править | править код]

Тришестиугольная мозаика может быть геометрически искривлена в топологически эквивалентные мозаики с меньшей степенью симметрии[9]. В этих вариантах мозаики рёбра не обязательно являются отрезками (могут быть кривыми).

p3m1, (*333) p3, (333) p31m, (3*3)
Trihexagonal tiling unequal.png Trihexagonal tiling unequal2.svg Distorted trihexagonal tiling.png Triangle and triangular star tiling.png

Связанные квазирегулярные мозаики[править | править код]

Тришестиугольная мозаика присутствует в последовательности симметрий квазирегулярных мозаик с конфигурациями вершин (3.n)2, которая начинается с мозаик на сфере, идёт к евклидовой плоскости и переходит в гипеболическую плоскость. С орбифолдной нотацией[en] симметрии *n32 все эти мозаики создаются построением Визоффа с фундаментальной областью симметрии и генераторной точкой в вершине области с прямым углом[10][11].

*n32 орбифолдные симметрии квазирегулярных мозаик: (3.n)2
Quasiregular fundamental domain.png
Построение
Сферическая Евклидова Гиперболическая
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Квазирегулярные
фигуры
Uniform tiling 332-t1-1-.png Uniform tiling 432-t1.png Uniform tiling 532-t1.png Uniform tiling 63-t1.png H2 tiling 237-2.png H2 tiling 238-2.png H2 tiling 23i-2.png
Вершина (3.3)2 (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.8)2 (3.∞)2

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники[править | править код]

Существует 2 правильных комплексных бесконечноугольника?!, имеющие те же вершины, что и тришестиугольная мозаика. Правильные комплексные бесконечноугольники имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут иметь 2 и более вершин. Правильные бесконечноугольники (апейрогоны) p{q}r имеют ограничивающее равенство: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Рёбра имеют p вершин, расположенных как у правильного многоугольника, а вершинные фигуры r-угольны[12].

Первый бесконечноугольник состоит из треугольных рёбер, по два треугольника вокруг каждой вершины, второй имеет шестиугольные рёбра, по два шестиугольника вокруг каждой вершины.

Complex apeirogon 3-12-2.png Complex apeirogon 6-6-2.png
3{12}2 or CDel 3node 1.pngCDel 12.pngCDel node.png 6{6}2 or CDel 6node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Grünbaum, Shephard 1987. См., в частности, теорему 2.1.3 на стр. 59 (классификацию однородных мозаик), рисунок 2.1.5 на стр.63 (иллюстрация этой мозаики), теорему 2.9.1 на стр. 103 (классификация раскрашенных мозаик), рисунок 2.9.2 на стр. 105 (иллюстрация раскрашенных мозаик), рисунок 2.5.3(d) на стр. 83 (топологически эквивалентная звёздчатая мозаика) и упражнение 4.1.3 на стр. 171 (топологическая эквивалентность тришестиугольной и двутреугольной мозаик).
  2. Williams, 1979, с. 38.
  3. Kepler, 1997, с. 104–105.
  4. Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008, с. 288.
  5. Mekata, 2003, с. 12–13.
  6. 1 2 Lawler, Kee, Kim, Vishwanath, 2008.
  7. Yen, Chaudhury, Galstyan и др., 2008, с. 1487–1489.
  8. Steurer, Deloudi, 2009, с. 20.
  9. 1 2 Grünbaum, Shephard, 1987.
  10. Coxeter, 1973.
  11. Two Dimensional symmetry Mutations by Daniel Huson
  12. Coxeter, 1991, с. 111-112, 136.

Литература[править | править код]