Трёхдиагональная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби[1] называют ленточную матрицу следующего вида:

\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & a_2 & b_2 \\
& c_2 & \ddots & \ddots \\
& & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\
& & & c_{n-1} & a_n
\end{pmatrix},

где во всех остальных местах, кроме главной диагонали и двух соседних с ней, стоят нули.

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математической физики. Краевые условия x_1 и x_n, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так, краевое условие первого рода F \bigl|_{x=x_1}=f_1 определит первую строку в виде c_1=1, b_1=0, а краевое условие второго рода \frac{\partial F}{\partial x} \Bigl|_{x=x_1}=f_1 будет соответствовать значениям c_1=-1, b_1=1.

Определитель[править | править вики-текст]

Определитель трёхдиагональной матрицы задается следующей рекуррентной формулой[2]. Положим

f_n = \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & a_2 & b_2 \\
& c_2 & \ddots & \ddots \\
& & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\
& & & c_{n-1} & a_n
\end{vmatrix}

для всех n > 1 и f1 = a1. Тогда

f_n = a_n f_{n-1} - c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2},

где f0 = 1 и f-1 = 0.

Метод прогонки[править | править вики-текст]

Для решения систем линейных уравнений вида Ax = F, где A — трёхдиагональная матрица, обычно используется метод прогонки.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — ISBN 5-02-014727-3.
  2. (2004) «On the inverse of a general tridiagonal matrix». Applied Mathematics and Computation 150 (3): 669–679. DOI:10.1016/S0096-3003(03)00298-4.