Трёхмерная сфера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красная), меридианов (синий) и гипермеридианов (зелёный). В связи с конформными свойствами стереографической проекции, кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в жёлтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, которые пересекаются <0,0,0,1> имеют бесконечный радиус (то есть являются прямыми).

Трёхмерная сфе́ра, или трёхмерная гиперсфе́ра, иногда 3-сфе́ра, — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

Уравнение[править | править код]

В декартовых координатах трёхмерная сфера радиуса может быть задана уравнением

Рассматривая комплексное пространство как вещественное , уравнение сферы может быть рассмотрено как

Аналогично, в пространстве кватернионов :

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

Свойства[править | править код]

Трёхмерная сфера является границей четырёхмерного шара.

Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на неё может быть непрерывно стянута в точку.

Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства .

Групповая структура[править | править код]

Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.

Таким образом, сфера является группой Ли. Среди -мерных сфер таким свойством обладают только и .

Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы с помощью матриц Паули:

Поэтому группа изоморфна матричной группе Ли .

Действие группы U(1) и расслоение Хопфа[править | править код]

Основная статья: Расслоение Хопфа

Если определить действие группы :

то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере . При этом на сфере возникает структура расслоения с базой и слоями, гомеоморфными , то есть окружности . Это расслоение называется расслоением Хопфа.[1]

Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой

Точка (z1, z2) сферы отображается в точку [z1: z2] комплексной проективной прямой CP1, которая диффеоморфна двумерной сфере .

Гомотопические группы сферы[править | править код]

Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа . Также нулевой является группа .

Примечания[править | править код]

  1. Постников М. М. Лекции по алгебраической топологии, с. 20. — Москва, Наука, 1984.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М., 1989.

Ссылки[править | править код]

  • Weisstein, Eric W. Hypersphere (англ.) на сайте Wolfram MathWorld(англ.) Примечание: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в N-мерном пространстве называется N-сферой.