Трёхцветная раскраска

Раскрашенный в три цвета трилистник.

В теории узлов раскрашиваемость в три цвета узла — это возможность раскрасить узел в три цвета, придерживаясь определённых правил. Раскрашиваемость в три цвета является изотопическим инвариантом, а потому это свойство может быть использовано для различения двух (неизотопных) узлов. В частности, поскольку тривиальный узел не раскрашиваем в три цвета, любой раскрашиваемый узел будет нетривиальным.

Правила раскрашивания

Узел раскрашиваем, если каждая нить диаграммы узла может быть выкрашена одним из трёх цветов при выполнении следующих правил:

1. Должны быть использованы по меньшей мере два цвета

2. На каждом перекрёстке три нити должны быть либо все одного цвета, либо все разного (нить сверху на перекрёстке цвета не меняет, а нить снизу считается двумя разными нитями).

Замечания

• Некоторые источники требуют, чтобы использовались все три цвета . Для узлов это эквивалентно вышеприведённому определению, а вот для зацеплений это не так.

Примеры

Пример раскраски узла согласно вышеприведённым правилам. Обычно для раскраски используются красный, зелёный и синий цвета.

«Трилистник и тривиальное 2-зацепление раскрашиваемы в три цвета, но тривиальный узел, зацепление Уайтхеда и восьмёрка не раскрашиваемы.

Пример раскрашиваемого в три цвета узла

Бабий узел можно раскрасить в три цвета. В этой раскраске три нити на каждом пересечении имеют три различных цвета. Узел состоит из двух трилистников, и раскраска одного из двух (но не обоих) трилистников полностью в красный цвет также даёт допустимую раскраску. Узел «истинной дружбы» также является раскрашиваемым в три цвета

Пример не раскрашиваемого в три цвета узла

Восьмёрку нельзя раскрасить в три цвета. На показанной диаграмме узел имеет четыре нити, из которых любая пара встречается на каком-либо перекрёстке. Если три из нитей имеют один и тот же цвет, то и четвёртая нить должна иметь тот же цвет. В противном случае каждая из этих четырёх нитей должна иметь свой цвет. Поскольку раскрашиваемость в три цвета является инвариантом узла, никакая из диаграмм этого узла не может быть выкрашена в три цвета.

Свойства

• Если проекция узла раскрашиваема в три цвета, то движения Рейдемейстера на узле сохраняют раскрашиваемость, так что либо все проекции узла раскрашиваемы в три цвета, либо никакая проекция не поддаётся раскраске». Иначе говоря, раскрашиваемость в три цвета является изотопическим инвариантом, свойством узла или зацепления, которое остаётся неизменным при любой объемлющей изотопии.
  • Это можно доказать, если рассматривать движения Рейдемейстера. Поскольку каждое движение Рейдемейстера может быть осуществлено без изменения свойства раскрашиваемости, это свойство является изотопическим инвариантом.

движение Рейдемейстера I не меняет раскрашиваемость.	движение Рейдемейстера II не меняет раскрашиваемость.	движение Рейдемейстера III не меняет раскрашиваемость.

• Поскольку раскраска в три цвета является бинарной классификацией (зацепление раскрашиваемо или нет), это относительно слабый инвариант. Сумма раскрашиваемого узла с другим узлом всегда раскрашиваема.
  • Путь усиления этого инварианта — посчитать число возможных раскрасок в три цвета. В этом случае отказываемся от правила, что используются по меньшей мере два цвета, и теперь любое зацепление имеет по меньшей мере три раскраски (просто раскрашиваем все дуги в один и тот же цвет). Теперь зацепление считается раскрашиваемым в три цвета, если оно имеет более трёх различных раскрашиваний.

• Любое разделимое зацепление с раскрашиваемой отделимой компонентой является также раскрашиваемым в три цвета.

• Если торический узел или зацепление $(m,n)$, можно раскрасить в три цвета, то это же верно и для $(j{\cdot }m,i{\cdot }n)$ и $(i{\cdot }n,j{\cdot }m)$ для любых натуральных $i$ и $j$.

См. также

• n-цветная раскраска Фокса
• Раскраска графов

Литература

• Eric W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. — Second Edition. — Boca Raton, London, New York. Washington D.C.: Chapman & Hall/CRC, 2010. — ISBN 9781420035223.
• N.D. Gilbert, T. Porter. Knots and Surfaces. — Oxford, New York, Tokyo: Oxford University Press, 1994. — ISBN 0-19-853397-7.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Three-Colorable Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.