Ударная адиабата

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уда́рная адиабата, или адиаба́та Гюгонио́, адиабата Рáнкина-Гюгонио́ — математическое соотношение, связывающее термодинамические величины до ударной волны и после. Названо в честь шотландского физика Уильяма Джона Рaнкина и французского Пьера-Анри Гюгонио, которые независимо получили это соотношение (опубликовано соответственно в 1870 и 1887—1889 годах[1]). Ударная адиабата представляет геометрическое место точек конечных состояний за фронтом ударной волны при заданных начальных условиях. Рассмотрим законы сохранения на стационарной ударной волне в такой системе отсчёта, в которой ударный фронт покоится:

\rho_1u_1=\rho_2u_2=j,
p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,
h_1+\frac{1}{2}u_{1}^2=h_2+\frac{1}{2}u_{2}^2.

Здесь \rho — плотность газа, u — скорость газа относительно ударной волны, h — удельная энтальпия газа, j — поток массы через разрыв, индексами «1» и «2» обозначены состояния до и после ударной волны. Выразим скорость в последнем равенстве через поток массы u=j/\rho, получим уравнение:

h_2-h_1+\frac{j^2}{2}\left(\frac{1}{\rho_2^2}-\frac{1}{\rho_1^2}\right)=0.

Исключая из него j с помощью равенства, известного под названием прямая или луч Рэлея — Михельсона (название связано с тем, что это уравнение задаёт прямую линию на плоскости (p,V), где V=1/\rho — удельный объём):

j^2=-\frac{p_2-p_1}{V_2-V_1},

— приходим к соотношению Рaнкина-Гюгонио:

h_2-h_1-\frac{\left(p_2-p_1\right)}{2}\left(V_1+V_2\right)=0.

Если выразить энтальпию через внутреннюю энергию \varepsilon как h=\varepsilon+pV, то соотношение Ранкина — Гюгонио переходит в

\varepsilon_2-\varepsilon_1
-\frac{\left(p_2+p_1\right)}{2}\left(V_1-V_2\right)=0.

Переход газа через ударную волну является необратимым процессом, поэтому на ударной волне удельная энтропия увеличивается (для слабых ударных волн в совершенном газе рост энтропии пропорционален кубу относительного роста давления (p_2-p_1)/p_1). Увеличение энтропии означает наличие диссипации (внутри ударной волны, являющейся узкой переходной зоной, существенны, в частности, вязкость и теплопроводность). Это, в частности, приводит к тому, что тело, движущееся в идеальной жидкости с возникновением ударных волн, испытывает силу сопротивления, то есть для такого движения парадокс Д'Аламбера не имеет места.

Часто ударной адиабатой Гюгонио называют кривую в плоскости (p,V) или (p,\rho), определяющую зависимость p_2 от \rho_2 при заданных начальных значениях p_1 и \rho_1. При заданных p_1 и \rho_1 ударная волна, перпендикулярная потоку, определяется всего одним параметром (наклонная ударная волна характеризуется дополнительно значением касательной к её поверхности составляющей скорости): например, если задать p_2, то по адиабате Гюгонио можно найти \rho_2, а отсюда с использованием вышеприведённых формул — плотность потока j и скорости u_1 и u_2, а из уравнения состояния — температуру и т.д.

Ударную адиабату не следует путать с адиабатой Пуассона, описывающей процесс с постоянной энтропией s. В отличие от адиабат Пуассона, для которых s(\rho,p)=\mathrm{const}, уравнение ударной адиабаты нельзя написать в виде f(\rho,p)=\mathrm{const}, где f — однозначная функция двух аргументов: адиабаты Гюгонио для заданного вещества составляют двухпараметрическое семейство кривых (каждая кривая определяется заданием как p_1, так и \rho_1), тогда как адиабаты Пуассона — однопараметрическое.

Литература[править | править вики-текст]

  • Крайко А.Н. Краткий курс теоретической газовой динамики. — М.: МФТИ, 2007. — С. 300. — ISBN 978-5-7417-0229-1.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Некоторые обзорные работы и первоисточники по истории уравнений гидромеханики