Узел (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Knot table.svg
Восьмёрка (узел Листинга)
Example of Knots.svg
Trefle.jpg

Узел в математике — вложение окружности (одномерной сферы) в трёхмерное евклидово пространство, рассматриваемое с точностью до изотопии. Основной предмет изучения теории узлов. Два узла топологически эквивалентны, если один из них можно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений.

Частным случаем является вопрос о распознавании тривиальности того или иного узла то есть о том, является ли заданный узел изотопным тривиальному узлу (можно ли его развязать).

Для определения того, является ли конкретный узел тривиальным, можно использовать различные инварианты узлов, например многочлен Александера или фундаментальную группу дополнения. Обычно их можно посчитать исходя из узловой диаграммы.

Классификация[править | править вики-текст]

Трилистник, узел 3_1 является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений три. Он является простым и перечислен с под номером 31 в нотации Александера-Бриггса. Нотация Даукера[en] для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея[en] трилистника — [3].

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно "развязать" трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.

Восьмёрка, четырёхкратный узел или узел Листинга, узел 4_1 ― один из простейших нетривиальных узлов. Восьмёрка обозначается символом 4_1. Впервые рассмотрен Листингом, учеником Гаусса, в 1847 году.

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот. (То есть, эти два трилистника не изотопны.)

Также, можно показать, что трилистник (как правый, так и левый) неизотопен восьмёрке.

Пятилистник, известный также как как узел 5_1 в обозначениях Александера и Бриггса, Узел «Лапчатка» и печать Соломона, - это узел, для которого число пересечений (минимальное возможное число самопересечений на диаграмме - плоском рисунке - узла) равно пяти.

Для многокомпонентных узлов в верхнем индексе указывается количество компонентов: например, зацепление двух колец имеет символическую запись 2^2_1.

Это были примеры полиномиальных[1] узлов. Неполиномиальным узлом является дикий узел[2]

Пример дикого узла.

Ди́кий у́зелузел L в евклидовом пространстве E^3 такой, что не существует гомеоморфизма E^3 на себя, при котором L переходит в замкнутую ломаную, состоящую из конечного числа отрезков.

Узлы и зацепления[править | править вики-текст]

Вложение (чаще — его образ) несвязной суммы \mu экземпляров окружности в \mathbb{R}^3 или S^3 называется зацеплением кратности \mu.

Зацепление кратности \mu=1 называется узлом.

Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.

Инварианты узлов[править | править вики-текст]

В теории узлов число пересечений узла — это наименьшее число пересечений на любой диаграмме узла. Число пересечений является инвариантом узла.

Например, тривиальный узел имеет нулевое число пересечений, число пересечений трилистника равно трём, а число пересечений восьмёрки равно четырём.

Дополнение узла[править | править вики-текст]

Теорема Гордона — Люка утверждает, что дополнение узла (как топологического пространства) является «полным инвариантом» узла, в том смысле, что он отличает заданный узел от всех остальных с точностью до объемлющей изотопии и зеркального отражения. Среди инвариантов, связанных с дополнением узла, есть группа узла, которая является просто фундаментальной группой его дополнения.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Armstrong (1983), p. 215.
  2. Livingstone (1996), Section 2.1 Wild Knots and Unknottings, pp. 11–14.

Литература[править | править вики-текст]