Улитка Паскаля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Три улитки паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная a>\ell, красная (кардиоида) a=\ell и синяя a<\ell

Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка; подера окружности, конхоида окружности относительно точки на окружности, частный случай Декартова овала, она также является эпитрохоидой. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнения[править | править исходный текст]

Уравнение в прямоугольных координатах:

(x^2+y^2-ay)^2=\ell^2(x^2+y^2)

в полярных координатах:

\rho = \ell-a \sin\phi.

Здесь a — диаметр исходной окружности, а l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).

Построение улитки Паскаля.

Свойства[править | править исходный текст]

z = b (e^{it} + e^{2it}) = b e^{3it\over 2} (e^{it\over 2} + e^{-it\over 2}) = 2b \cos {t\over 2} e^{3it\over 2} ,

или,в полярных координатах,

r = 2b\cos{\theta \over 3}