Улитка Паскаля

Три улитки Паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная $a>\ell$, красная (кардиоида) $a=\ell$ и синяя $a<\ell$

Анимация подеры окружности

Улитка Паскаля ― плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнения

Уравнение в прямоугольных координатах:

$(x^{2}+y^{2}+ay)^{2}=\ell ^{2}(x^{2}+y^{2}),$

в полярных координатах:

$\rho =\ell -a\sin \phi ,$

Построение улитки Паскаля

параметрическое:

$x=2R\cdot \cos(t)-h\cdot \cos(2t),$

$y=2R\cdot \sin(t)-h\cdot \sin(2t).$

Здесь a — диаметр исходной окружности, а $\ell$ — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).

При этом начало координат является

• узловой точкой при $a>\ell$,
• точкой возврата при $a=\ell$ (в этом случае улитка Паскаля называется кардиоидой),
• двойной точкой при $a<\ell$.

В случае $\ell =a/2$ улитка Паскаля также называется трисектри́са. Такое название она получила из-за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки. Уравнение трисектрисы:

$z=b(e^{it}+e^{2it})=be^{\frac {3it}{2}}\left(e^{\frac {it}{2}}+e^{\frac {-it}{2}}\right)=2be^{\frac {3it}{2}}\cos {\frac {t}{2}},$

в полярных координатах:

$r=2b\cos {\frac {\theta }{3}}.$

Свойства

• Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
• Улитка Паскаля является обобщением кардиоиды.
• Улитка Паскаля является подерой окружности.
• Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
• Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
• Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
• Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
• Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
• Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:

  $S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi \ell ^{2}.$

При $a>\ell$ площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.

Литература

• Улитка Паскаля // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 188—189. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).