Умножение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Умножение 5 яблок на 3 раза даёт 15 яблок

Умноже́ние — одна из основных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (множимого и множителя), результатом которой является новое число (произведение), получаемое последовательным сложением значения первого аргумента количество раз определяемым значением второго аргумента. Например для натуральных чисел:

В общем виде можно записать: . То есть каждой паре элементов ставится в соответствие элемент , называемый произведением и .

На письме обычно обозначается с помощью одного из «знаков умножения» — «», например: Умножение может быть определено также для рациональных, вещественных, комплексных чисел и других математических, физических и абстрактных величин.

У умножения есть несколько важных свойств:

Коммутативность:
Ассоциативность:
Дистрибутивность:
Умножение на нуль (нулевой элемент) даёт число равное нулю:
Умножение на единицу (нейтральный элемент) даёт число равное исходному:

На рисунке показан пример подсчёта яблок посредством операции умножения, 3 группы по 5 яблок, в результате даёт 15 яблок: 

На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы.

Формы записи и терминология[править | править вики-текст]

Умножение записывается с использованием «знака умножения»: «» между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак умножения является  бинарным оператором. Знак умножения не имеет специального названия, как например знак сложения, который называется «плюс».

Самый старый из используемых символов — диагональный крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.
Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде приподнятой точки (∙) Этот символ он использовал в письме 1698 г.
Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.

В Российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (∙). Звёздочка (∗) используется в компьютерной нотации. Результат записывается с использованием знака равенства «», например:

 ;
(«шесть умножить на три равно восемнадцать» или «шестью три равно восемнадцать»).

Часто в математических выражениях знак умножения опускается. Например вместо пишется . Следует внимательнее разбирать выражение, что бы не возникло ошибочной идентификации символа.

Свойства[править | править вики-текст]

Операция умножения на числовых множествах имеет следующие основные свойства:

  • Умножение коммутативно — от перемены мест сомножителей произведение не меняется, также известно, как переместительный закон умножения:
Коммутативность:
  • Умножение ассоциативно — при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения, также известно, как сочетательный закон умножения:
Ассоциативность:
  • Умножение дистрибутивно, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, также известно, как распределительный закон[1] .
Дистрибутивность:
  • Относительно умножения в множестве существует единственный нейтральный элемент — (число "один"), умножение любого числа на (нейтральный элемент) даёт число равное исходному:
Нейтральный элемент:
  • Умножение на идемпотентно — повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:
Идемпотентность:
  • Умножение на (нулевой элемент) даёт (нуль):
нулевой элемент:

Операция умножения чисел определённых на множествах даёт число (произведение) принадлежащее этому же множеству, следовательно операция умножения относится к замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из данного множества чисел), то есть множества чисел образуют кольца относительно операции умножения.

На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что являются абелевыми группами относительно операции умножения.

В математических выражениях операция умножения имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.

Выполнение умножения[править | править вики-текст]

Операцию умножения можно представить, как некий "черный ящик" с множимым и множителем на входе и одним выходом - произведением:

Чёрный ящик.jpg

При практическом решении задачи умножения двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: "простое умножение", сложение, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы умножения, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного умножения. При этом следует рассматривать умножение как процедуру (в отличие от операции).

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при умножении больших чисел может занять продолжительное время.

Пример пошагового умножения 3 * 3 = 9 на числовой прямой.

"Простое умножение" — в данном контексте обозначает операцию умножения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к сложению. Является гипероператором сложения:



где: — последовательное сложение элементов.

Чтобы упростить и ускорить процесс умножения используют табличный метод "простого умножения", для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой таблицы[2]:

Данная процедура применима к умножению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Умножение чисел[править | править вики-текст]

Натуральные числа[править | править вики-текст]

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств порождённых биекциями, с помощью скобок: . Тогда арифметическая операция «умножение» определяется следующим образом:

где: прямое произведение множеств — множество  , элементами которого являются упорядоченные пары   для всевозможных  . Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества на отрезок можно понимать как нумерацию элементов множества . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ». Таким образом, «счет» — это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.

Для умножения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм умножения. Если даны два натуральных числа и  такие, что:

где ; — количество цифр в числе ; — порядковый номером разряда (позиции), ; — основание системы счисления; множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления: , , ; тогда:

умножая поразрядно, получаем промежуточных результатов:

где: r — значение переноса, mod() — функция нахождения остатка от деления, div() — функция нахождения неполного частного.

Затем полученные промежуточных результатов складываем:

Таким образом операция умножения сводится к процедуре последовательного простого умножения одноразрядных чисел , с формированием переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо последовательным сложением. И далее к сложению.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей умножения, соответствующей данному основанию системы счисления.

Пример умножения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:

Целые числа[править | править вики-текст]

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел , получаемое добавлением отрицательных чисел [3] вида . Множество целых чисел обозначается Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.

Положительное и отрицательное числа на числовой прямой.

Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру умножения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

  • Если оба аргумента положительные, тогда:
  • Если один из аргументов отрицателен, тогда: либо
  • Если оба аргумента отрицательны, тогда:

Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного умножения. Например, рассмотрим выражение: ; так как у чисел и разные знаки, то выносим минус за скобки: , вычисляя далее получим ответ: .

Рациональные числа[править | править вики-текст]

Множество рациональных чисел обозначается (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде:

Для умножения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: , следует числители и знаменатели дробей умножить друг на друга.

Если даны два рациональных числа и такие, что: (дроби не сокращаемые), тогда:

[4]

Пример умножения:

Арифметическая операция «умножение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа[править | править вики-текст]

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[5] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

,

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: и , то их произведением называют число , определённое произведением последовательностей и :

;


вещественное число , удовлетворяет следующему условию:

.


Таким образом произведением двух вещественных чисел   и  является такое вещественное число  которое содержится между всеми произведениями вида  с одной стороны и всеми произведениями вида  с другой стороны[6].

На практике для того, чтобы умножить два числа и , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами и . За приближенное значение произведения чисел берут произведение указанных рациональных чисел . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают и . Умножение производится по алгоритму поразрядного умножения.

Абсолютная погрешность произведения приближённых чисел: , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность произведения равна сумме относительных по­грешностей аргументов: . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример умножения , с точностью до 3-го знака после запятой:

  • Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
  • Получаем:  ;
  • Поразрядно умножаем:  ;
  • Округляем до 3-го знака после запятой: .

График[править | править вики-текст]

На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон вверх и вниз в виде параболы.

График функции f(c)=a*b

Так как , то и для этих множеств область значений функции умножения будет принадлежать этой поверхности.

Комплексные числа[править | править вики-текст]

Комплексное число

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом .

Произведением двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:

где: , — мнимая единица.

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:

Умножение комплексных чисел на комплексной плоскости.

где: модуль и аргумент комплексного числа.

Умножение комплексного числа в показательной форме, на комплексное число  сводится к повороту вектора, соответствующего числу , на угол   и изменению его длины в раз. Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

где: число e.

Экспоненциальная запись[править | править вики-текст]

В экспоненциальной записи числа записываются в виде , где  — мантисса,  — характеристика числа, — основание системы счисления, . Для умножения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо умножить мантиссы и характеристики:

Например:

Умножение произвольных чисел[править | править вики-текст]

При умножение чисел принадлежащих разным множествам необходимо учитывать, что множитель и множимое не вполне равноправны: например  — рациональное берётся пять раз, всё нормально. Однако обратное неверно: — невозможно натуральное число взять полтора раза. В данном случае необходимо произвести преобразование типа числа (если существует такая возможность в конкретной задаче). Для этого число из множества с меньшей мощностью расширяется в сторону числа из множества с большей мощностью. То есть воспользовавшись тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных, расширяем натуральное число до рационального числа и умножаем два рациональных числа: . Аналогично, пользуясь тем, что: можно умножать числа из различных множеств между собой.

Умножение физических величин[править | править вики-текст]

Единица измерения физической величины имеет определенное наименование (размерность): для длины (L) — метр (m), для времени (T) — секунда (s), для массы (M) — грамм (g) и так далее. Поэтому, результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с наименованием[7]. Наименование представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции умножения. При производстве операции умножения над физическими величинами, умножаются как сами числовые составляющие, так и их наименования.

Помимо размерных физических величин существуют безразмерные (количественные) величины, которые формально являются элементами числовой оси, то есть числами, не имеющие привязки к определенным физическим явлениям (измеряются "штуками", "разами" и тому подобное). При умножении чисел представляющих собой физические величины на безразмерную величину, множимое число увеличивается по величине кратно множителю и сохраняет единицу измерения. Например если взять 5 метровые рейки в количестве 3 штуки, то в результате умножения получим общую длину реек 15 метров.

Умножение разнородных физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, принципиально отличающейся от величин, которые мы умножаем. При этом должна получится величина реально существующая в природе. Если физически возможно создание такого произведения, например, при нахождении работы, скорости  или  других величин, то эта величина  образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин  присваивается новое обозначение (новый термин), например: плотность, ускорение, мощность и прочее[8].

Например, если умножить скорость  на время , соответствующие одному физическому процессу, то получится именованное число (физическая величина) соответствующее этому же физическому процессу, которая называется "длина" и измеряется в метрах: .

При описании математическими средствами физических процессов немаловажную роль играет понятие однородности, которое означает например, что "1 кг муки" и "1 кг меди" принадлежат разным множествам {мука} и {медь} соответственно. Также понятие однородности предполагает, что умножаемые величины принадлежат одному физическому процессу. Например невозможно в рамках существующего физического мира произвести какие либо математические операции между "1 кг муки" и "1 кг меди", несмотря на то, что единицы измерения совпадают; невозможно умножить "скорость автомобиля" на "время лыжника", но можно умножить "скорость автомобиля" на "время этого автомобиля".

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Так эти свойства называются в учебниках для младших классов
  2. Истомина, 2005, с. 165.
  3. Выгодский, 2003.
  4. Гусев, 1988, с. 20.
  5. Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
  6. Ильин, 1985, с. 46.
  7. Волинская Н.И. Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г.Бреста. brestschool7.iatp.by. Проверено 18 апреля 2016.
  8. Макаров Владимир Петрович. О «размерности» физических величин. lithology.ru, Литология.РФ. Проверено 18 апреля 2016.

Литература[править | править вики-текст]