Унарная система счисления

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская Индийские Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская
Восточноазиатские
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая	Греческая Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская Египетская Этрусская Римская	Аттическая Кипу Майяская
Позиционные
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 24, 26, 27, 32, 36, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

Уна́рная (едини́чная, ра́зная) систе́ма счисле́ния — положительная суммарная целочисленная система счисления с основанием, равным 1.

В качестве единственной «цифры» используется «1», чёрточка (|), камешек, костяшка счёт, узелок, зарубка и др.

Единичные непозиционные системы счисления

Единичные системы счисления с весовыми функциями (коэффициентами) f=b, независящими от положения цифр, являются непозиционными (непоместными). Числа в них могут быть записаны в виде:

$x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2 a_1 a_0)_{1,b}=\sum_{k=0}^{n-1}a_k b$,

где:

n — число цифр (единиц),

k — число, порядковый номер цифры (единицы) в числе x_1,b,

a — число, определяющее множество из которого берутся a_k,

a_k — числа из одноэлементного множества a={1} (единицы),

b — число, основание весовой функции,

• при b=1 веса всех цифр одинаковые и равны «1»,
• при b≠1 веса всех цифр одинаковые и равны b.
  

Поскольку весовой коэффициент b может быть любым, число единичных непозиционных систем счисления бесконечно. Наибольшее распространение получила единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным единице (b=1). В народе иногда применяется единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным двум (b=2) — при счёте па́рами.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания весового коэффициента — b, который определяет диапазон представляемых числами x_1,b величин, и равно числу размещений с повторениями:

$\bar{A}(a,n)=\bar{A}_a^n=a^n=1^n=1$,

где:

a=1 — одноэлементное множество a={1} из которого берутся цифры a_k, :n — число элементов (цифр) в числе x_1,b.

Из этого следует, что вышеприведённая запись для фиксированного числа разрядов — n определяет одно число. Сумма таких записей с числом разрядов n от 1 до n определяет n единичных чисел.

Единичная непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом

Целые числа записываются в виде:

$x_1=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2 a_1 a_0)_1=\sum_{k=0}^{n-1}a_k$,

где:

a_k — единицы.

Особенностью такой системы является то, что если приписать к числу одну «цифру» (1 — единицу), то число увеличивается лишь на эту единицу.
(Для сравнения: если в обычной десятичной системе счисления к натуральному числу приписать справа 1, число увеличивается сразу в 10 раз — и плюс 1).

Поэтому такая система записи чисел обычно применяется там, где идёт последовательное увеличение подсчитываемой величины, например: при счёте числа дней, количества одинаковых событий и т. п.

Вероятно, подобная система является древнейшей системой счисления в истории человечества, для примера можно привести Московский математический папирус, датируемый приблизительно 1850 г. до н. э.

Дробные числа записываются в виде дроби из двух целых чисел:

$x_1=(a1_{n-1}a1_{n-2}...a1_1a1_0/a2_{m-1}a2_{m-2}...a2_{1}a2_{0})_1=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}a1_k}{\sum_{k=0}^{m-1}a2_k}$,

где:

n — число цифр числителя (a1) дробного числа x₁,

m — число цифр знаменателя (a2) дробного числа x₁.

Примеры использования

0:

1: |

5: ||||| (иногда $\angle\!\!\!\!\Box$ )

7: ||||| || или |||| ||

Применение

• При обучении детей счёту — счётные палочки;
• при подсчёте голосов на выборах в малых группах;
• в коллективных хозяйствах (для учёта трудодней);
• в телефонных центрах (для подсчёта количества отработанных вызовов);
• в тюрьмах и при отбывании воинской повинности (для подсчёта числа дней до окончания срока отсидки/демобилизации);
• Робинзон Крузо использовал унарную систему счисления (зарубки на дереве) для ведения календаря на необитаемом острове;
• в домино при подсчёте очков;
• в единичном кодировании с добавлением нуля после унарного представления числа в виде цепочки единиц — подмножество кодов Голомба;
• в представлении ленты памяти в бинарных машинах Тьюринга;
• в цифровой электронике одной унарной единице соответствует один инвертор с логикой на входе;
• в двоичных дешифраторах;
• в индикаторах физических величин с градусной шкалой (например, уровня звукового сигнала в аудиосистемах);
• в конторских счётах для представления единиц внутри одного десятичного разряда;
• при фальсификации диагонального метода Кантора;
• в вавилонской системе счисления применялось единичное кодирование десятичных цифр внутри шестидесятеричных разрядов.

Единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование

Подобно двоично-десятичному кодированию, в обычной десятичной системе счисления внутри каждого разряда возможно единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование, в котором каждой арабской цифре от «0» до «9» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «111111111».
Унарнодесятичное кодирование (Unary Coded Decimal, UCD) применяется в русских счётах.

Единичнодвоичное (унарнодвоичное) кодирование

В обычной двоичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно использование единичнодвоичного (унарнодвоичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «1» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «1».

Единичнотроичное (унарнотроичное) кодирование

В обычной троичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичнотроичного (унарнотроичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «2» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «11».

Единичночетверичное (унарночетверичное) кодирование

В обычной четверичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичночетверичного (унарночетверичного) кодирования, в которой каждой арабской цифре от «0» до «3» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «111».

Единичные позиционные системы счисления

Если весовые коэффициенты $b$ зависят от положения цифр (единиц) ($b(k)$), то единичная система счисления является поместной (позиционной). Целое число в ней может быть записано в виде:

$x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2a_1a_0)_{1,b}=\sum_{k=0}^{n-1}a_k b(k)$,

где:

$b(k)$ — числа весовой функции, весовые коэффициенты, зависящие от места (номера) цифры (единицы) в числе $x_{1,b}$.

Пример: при $b(k) = k + 1$

• число $1_{1,b} = 1 \cdot 1 = 1_{10}$,
• число $11_{1,b} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 3_{10}$,
• число $111_{1,b} = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 6_{10}$,
• число $1111_{1,b} = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 10_{10}$.

При $b(k) \equiv 1$ единичная система счисления может рассматриваться и как вырожденная поместная (позиционная) положительная целочисленная система счисления с основанием равным 1.

При межразрядной функции $b(k)=b^k$ образуются сдвоенные единичные показательные системы счисления:

$x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2a_1a_0)_{1,b}=\sum_{k=0}^{n-1}a_k b^k$,

в которых множество $a$, из которого берутся $a_k$, равно $\{1\}$, а основание межразрядной показательной функции не равно 1 ($b \ne 1$).

Дробные числа записываются в виде:

$x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0,a_{-1}a_{-2}...a_{-(m-1)}a_{-m})_{1,b}=\sum_{k=m}^{n-1}a_k b^k$,

где:

$m$ — число цифр дробной части числа $x_{1,b}$.

См. также

• 1 (число)
• Бит
• Трит

Примечания

(неработающая ссылка)

Ссылки

• Последовательность A000042 Единичное представление натуральных чисел в On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
• Непозиционные системы счисления.