Унарная система счисления

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаосская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская
Аттическая
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

Уна́рная (едини́чная, ра́зная) систе́ма счисле́ния — положительная суммарная целочисленная система счисления с основанием, равным 1.

В качестве единственной «цифры» используется «1», чёрточка (|), камешек, костяшка счёт, узелок, зарубка и др.[1]

Единичные непозиционные системы счисления[править | править вики-текст]

Единичные системы счисления с весовыми функциями (коэффициентами) f=b, независящими от положения цифр, являются непозиционными (непоместными). Числа в них могут быть записаны в виде:

x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2 a_1 a_0)_{1,b}=\sum_{k=0}^{n-1}a_k b,

где:

n — число цифр (единиц),
k — число, порядковый номер цифры (единицы) в числе x1,b,
a — число, определяющее множество из которого берутся ak,
ak — числа из одноэлементного множества a={1} (единицы),
b — число, основание весовой функции,
  • при b=1 веса всех цифр одинаковые и равны «1»,
  • при b≠1 веса всех цифр одинаковые и равны b.

Поскольку весовой коэффициент b может быть любым, число единичных непозиционных систем счисления бесконечно. Наибольшее распространение получила единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным единице (b=1). В народе иногда применяется единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным двум (b=2) — при счёте па́рами.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания весового коэффициента — b, который определяет диапазон представляемых числами x1,b величин, и равно числу размещений с повторениями:

\bar{A}(a,n)=\bar{A}_a^n=a^n=1^n=1,

где:

a=1 — одноэлементное множество a={1} из которого берутся цифры ak, :n — число элементов (цифр) в числе x1,b.

Из этого следует, что вышеприведённая запись для фиксированного числа разрядов — n определяет одно число. Сумма таких записей с числом разрядов n от 1 до n определяет n единичных чисел.

Единичная непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом[править | править вики-текст]

Целые числа записываются в виде:

x_1=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2 a_1 a_0)_1=\sum_{k=0}^{n-1}a_k ,

где:

ak — единицы.

Особенностью такой системы является то, что если приписать к числу одну «цифру» (1 — единицу), то число увеличивается лишь на эту единицу.
(Для сравнения: если в обычной десятичной системе счисления к натуральному числу приписать справа 1, число увеличивается сразу в 10 раз — и плюс 1).

Поэтому такая система записи чисел обычно применяется там, где идёт последовательное увеличение подсчитываемой величины, например: при счёте числа дней, количества одинаковых событий и т. п.

Вероятно, подобная система является древнейшей системой счисления в истории человечества, для примера можно привести Московский математический папирус, датируемый приблизительно 1850 г. до н. э.

Дробные числа записываются в виде дроби из двух целых чисел:

x_1=(a1_{n-1}a1_{n-2}...a1_1a1_0/a2_{m-1}a2_{m-2}...a2_{1}a2_{0})_1=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}a1_k}{\sum_{k=0}^{m-1}a2_k},

где:

n — число цифр числителя (a1) дробного числа x1,
m — число цифр знаменателя (a2) дробного числа x1.

Примеры использования[править | править вики-текст]

0:

1: |

5: ||||| (иногда \angle\!\!\!\!\Box )

7: ||||| || или |||| ||

Применение[править | править вики-текст]

Единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование[править | править вики-текст]

Подобно двоично-десятичному кодированию, в обычной десятичной системе счисления внутри каждого разряда возможно единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование, в котором каждой арабской цифре от «0» до «9» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «111111111».
Унарнодесятичное кодирование (Unary Coded Decimal, UCD) применяется в русских счётах.

Единичнодвоичное (унарнодвоичное) кодирование[править | править вики-текст]

В обычной двоичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно использование единичнодвоичного (унарнодвоичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «1» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «1».

Единичнотроичное (унарнотроичное) кодирование[править | править вики-текст]

В обычной троичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичнотроичного (унарнотроичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «2» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «11».

Единичночетверичное (унарночетверичное) кодирование[править | править вики-текст]

В обычной четверичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичночетверичного (унарночетверичного) кодирования, в которой каждой арабской цифре от «0» до «3» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «111».

Единичные позиционные системы счисления[править | править вики-текст]

Если весовые коэффициенты b зависят от положения цифр (единиц) (b(k)), то единичная система счисления является поместной (позиционной). Целое число в ней может быть записано в виде:

x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2a_1a_0)_{1,b}=\sum_{k=0}^{n-1}a_k b(k),

где:

b(k) — числа весовой функции, весовые коэффициенты, зависящие от места (номера) цифры (единицы) в числе x_{1,b}.

Пример: при b(k) = k + 1

  • число 1_{1,b} = 1 \cdot 1 = 1_{10},
  • число 11_{1,b} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 3_{10},
  • число 111_{1,b} = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 6_{10},
  • число 1111_{1,b} = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 10_{10}.

При b(k) \equiv 1 единичная система счисления может рассматриваться и как вырожденная поместная (позиционная) положительная целочисленная система счисления с основанием равным 1.

При межразрядной функции b(k)=b^k образуются сдвоенные единичные показательные системы счисления:

x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2a_1a_0)_{1,b}=\sum_{k=0}^{n-1}a_k b^k,

в которых множество a, из которого берутся a_k, равно \{1\}, а основание межразрядной показательной функции не равно 1 (b \ne 1).

Дробные числа записываются в виде:

x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0,a_{-1}a_{-2}...a_{-(m-1)}a_{-m})_{1,b}=\sum_{k=m}^{n-1}a_k b^k,

где:

m — число цифр дробной части числа x_{1,b}.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Перельман Я. И. Занимательная арифметика. Глава IV Недесятичные системы счисления. Простейшая система счисления]

(неработающая ссылка)

Ссылки[править | править вики-текст]