Универсальная обёртывающая алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.

Построение[править | править вики-текст]

Ассоциативная алгебра над полем обладает естественной структурой алгебры Ли над со следующей скобкой Ли: , то есть, из ассоциативного произведения можно построить скобку Ли с помощью простого взятия коммутатора. Обозначим эту алгебру Ли .

Построение универсальной обёртывающей алгебры пытается обратить этот процесс: для данной алгебры Ли над находят «наиболее общую» ассоциативную -алгебру такую, что алгебра Ли содержит . Важное ограничение — сохранение теории представлений: представления соотносятся точь-в-точь так же как и модули над . В типичном контексте, где задаётся инфинитезимальными преобразованиями, элементы действуют как дифференциальные операторы всех порядков.

Мотивация[править | править вики-текст]

Важная тема в изучении алгебр и вероятно основной путь их появления в приложениях это представление алгебры Ли. Представление ставит каждому элементу x алгебры Ли линейный оператор . Данное пространство линейных операторов не только алгебра Ли, но также и ассоциативная алгебра, так что возможно рассматривать произведения . Суть введения универсальной обёртывающей алгебры в изучении таких произведений в различных представлениях алгебры Ли. Сразу видится одно препятствие в наивной попытке сделать это: свойства произведений коренным образом зависят от выбранного представления, а не только от самой алгебры Ли. Например, для одного представления можно получить , в то время как в другом представлении это произведение может быть не нулевым. Тем не менее определённые свойства универсальны для всех представлений, то есть сохраняют справедливость для всех представлений одновременно. Универсальная обёртывающая алгебра — это способ охватить все такие свойства и только их.

Универсальное свойство[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольная алгебра Ли над полем . При заданных ассоциативной алгебре с единицей и гомоморфизме алгебр Ли

будем говорить, что является универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Ли , если она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любой ассоциативной алгебры с единицей и гомоморфизма алгебр Ли

существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр с единицей

такой, что

Это универсальное свойство также можно понимать так: функтор, отображающий в её универсальную обёртывающую алгебру, сопряжён слева к функтору, отображающему ассоциативную алгебру в соответствующую алгебру Ли .

Прямое построение[править | править вики-текст]

Из этого универсального свойства, можно доказать, что если алгебра Ли имеет универсальную обёртывающую алгебру, то эта обёртывающая алгебра единственным образом определяется алгеброй (с точностью до изоморфизма). С помощью следующей конструкции, которая напрашивается из общих соображений (например, как часть пары сопряжённых функторов), устанавливается, что на самом деле любая алгебра Ли обязательно имеет универсальную обёртывающую алгебру.

Начиная с тензорной алгебры на векторном пространстве алгебры , мы получаем факторизацией посредством соотношений:

для любых и в , где скобки в правой части выражения обозначают коммутатор в .

Формально мы определили

где  — двусторонний идеал , порождённый элементами вида

Естественное отображение сводится к отображению , и именно этот гомоморфизм алгебр Ли используется в вышепривёденном универсальном свойстве.

Описанная конструкция почти дословно проходит на случай супералгебр Ли.

Частные примеры[править | править вики-текст]

Если абелева (то есть, коммутатор всегда 0), то  — коммутативна; если выбран базис векторного пространства , то может рассматриваться как алгебра многочленов над , с одной переменной для каждого базисного элемента.

Если  — алгебра Ли группы Ли , может рассматриваться как алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на , содержащая в качестве дифференциальных операторов первого порядка (которые находятся во взаимном соответствии с левоинвариантными векторными полями на ).

Центр алгебры обозначается через и состоит из дифференциальных операторов, являющихся инвариантными как относительно левого действия группы, так и относительно правого; в случае некоммутативности центр часто не порождается операторами первого порядка (например, оператор Казимира полупростой алгебры Ли).

Также можно охарактеризовать как алгебру обобщённых функций с носителем на единичном элементе группы с операцией свёртки.

Алгебра Вейля[en] дифференциальных операторов от переменных с полиномиальными коэффициентами может быть получена, начиная с алгебры Ли группы Гейзенберга. Для этого необходимо профакторизовать её так, чтобы центральные элементы данной алгебры Ли действовали как скаляры.

Дальнейшее описание структуры[править | править вики-текст]

Фундаментальная теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта даёт точное описание ; наиболее важное следствие из неё - это то, что может рассматриваться как линейное подпространство . Более точно: каноническое отображение всегда инъективно. Более того, порождается как ассоциативная алгебра с единицей.

действует на себе при помощи присоединённого представления алгебры Ли, и это действие может быть расширено на представление в эндоморфизмы : действует как алгебра производных на , и это действие сохраняет наложенные соотношения, поэтому она фактически действует на . (Это чисто инфинитезимальный способ смотреть на вышеупомянутые инвариантные дифференциальные операторы.)

При таком представлении, элементы , инвариантные под действием (то есть действие на них любого элемента тривиально), называются инвариантными элементами. Они порождаются инвариантами Казимира.

Как было сказано выше, конструкция универсальных обёртывающих алгебр — это часть пары сопряжённых функторов.  — функтор из категории алгебр Ли над в категорию ассоциативных -алгебр с единицей. Этот функтор — сопряженный слева к функтору, отображающему алгебру в алгебру . Следует отметить, что конструкция универсальной обёртывающей алгебры не является в точности обратной к формированию : если начать с ассоциативной алгебры , то не равна ; она значительно больше.

Сведения о теории представлений, упомянутые ранее, могут быть уточнены следующим образом: абелева категория всех представлений изоморфна абелевой категории всех левых модулей .

Построение групповой алгебры заданной группы во многом аналогична построению универсальной обёртывающей алгебры для заданной алгебры Ли. Оба построения универсальны и переносят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как групповые алгебры, так и универсальные обёртывающие алгебры имеют естественную структуру коумножения, которые превращают их в алгебры Хопфа.

Литература[править | править вики-текст]