Универсальное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначается (от англ. universe, universal set), реже .

В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.

В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класскласс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.

В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория New Foundations[en] У. В. О. Куайна.

Также универсальным множеством называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для элементарной арифметики универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел[1].

На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества[1].

В дальнейшем речь идёт о первом значении термина. Нижеприведённые формулы (за исключением ) верны и для второго значения, если через и обозначены соответственно любой элемент и любое подмножество множества .

Свойства универсального множества[править | править вики-текст]

  • Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.
  • В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
  • Любое множество является подмножеством универсального множества.
  • В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
  • Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
  • В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
  • Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству.
  • Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.
  • В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
  • Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.
  • В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
  • Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.
  • Дополнение универсального множества есть пустое множество.
  • Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
  • В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.

Виды[править | править вики-текст]

  • Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G [2] порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики такое, что для любой существует набор функций такой, что:

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Столл, 1968, с. 25.
  2. С. А. Ложкин. Лекции по основам кибернетики, 2008 г. (PDF)

Литература[править | править вики-текст]