Унитарная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Унита́рная ма́трица — квадратная матрица с комплексными элементами, результат умножения которой на эрмитово сопряжённую равен единичной матрице: . Другими словами, матрица унитарна тогда и только тогда, когда существует обратная к ней матрица, удовлетворяющая условию .

Унитарная матрица, элементы которой вещественны, является ортогональной.

Следующие утверждения относительно данной квадратной матрицы являются эквивалентными:

  1.  — унитарна.
  2.  — унитарна.
  3. Столбцы матрицы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве.
  4. Строки матрицы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве.

Интерпретация[править | править вики-текст]

Унитарная матрица представляет преобразование, переводящее ортонормированный базис комплексного векторного пространства размерности, соответствующей её размеру, в ортонормированный базис. (Это верно для любого ортонормированного базиса).

Это эквивалентно утверждению, что преобразование, представляемое унитарной матрицей, сохраняет скалярное произведение.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Всякая унитарная матрица является нормальной.
  • Произведение унитарных матриц также является унитарной матрицей.
  • Для всякой унитарной матрицы существует такая унитарная матрица , что  — диагональна.
  • Множество всех унитарных матриц порядка по умножению образует унитарную группу  — (алгебраическую) группу Ли над полем вещественных чисел.

Если определитель унитарной матрицы равен единице, её называют специальной унитарной матрицей. Модуль определителя унитарной матрицы всегда равен 1.

Множество всех специальных унитарных матриц порядка по умножению образуют специальную унитарную группу . Группы и играют важную роль при изложении квантовой механики и физики элементарных частиц.

См. также[править | править вики-текст]