Упорядоченное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Упорядоченное полеалгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин впервые предложил Эмиль Артин в 1927 г.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение (меньше или равно) со следующими свойствами:

  1. Рефлексивность: .
  2. Транзитивность: если и , то .
  3. Антисимметричность: если и , то .
  4. Линейность: все элементы сравнимы между собой, то есть либо , либо .

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

  1. Если , то для любого z: .
  2. Если и , то .

Если все 6 аксиом выполнены, то поле называется упорядоченным.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:
Отношение больше или равно: означает, что .
Отношение больше: означает, что и .
Отношение меньше: означает, что .
  • Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
  • Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину элемента как .

Конструктивное построение порядка[править | править вики-текст]

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества , ноль и не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

, если

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

Некоторые свойства[править | править вики-текст]

  • Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если положителен, то отрицателен, и наоборот.
  • В любом упорядоченном поле и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
  • Однотипные неравенства можно складывать:
Если и , то .
  • Неравенства можно умножать на положительные элементы:
Если и , то .

Неединственность порядка[править | править вики-текст]

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида , где — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» те числа , для которых . Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены[1].

Место в иерархии алгебраических структур[править | править вики-текст]

  • Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
  • Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю. Поэтому конечное поле не может быть упорядочено.
  • Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
  • Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
  • Если в поле не существует элемента больше, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым[2]. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел ; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Рациональные числа
  • Вещественные числа
  • Вещественные алгебраические числа
  • Поле вещественных рациональных функций: , где многочлены, . Упорядочим его следующим образом.
    • Пусть Будем считать, что функция , если . Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
    • Из определения вытекает, что многочлен больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Интересно отметить, что это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) , для которых[3] .
  • Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
  • Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле , порождённое добавлением к полю рациональных чисел числа — одного из трёх комплексных корней многочлена . Данное поле изоморфно вещественному полю , поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок[3]

Примеры неупорядочиваемых полей[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
  • Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
  • Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..

Примечания[править | править вики-текст]