Уравнение Абеля

Уравнение Абеля, названное в честь Нильса Хенрика Абеля — это тип функционального уравнения вида

$f(h(x))=h(x+1)$

или

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$.

Данные формы эквивалентны, когда α обратимо. h или α управляют итерацией f.

Эквивалентность

Второе уравнение может быть записано как

$\alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.$

Принимая x = α⁻¹(y), уравнение можно записать как

$f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.$

Для известной функции f(x) задача состоит в решении функционального уравнение для функции α⁻¹ ≡ h, возможно, удовлетворяющей дополнительным требованиям, таким как α⁻¹(0) = 1.

Замена переменных s^α(x) = Ψ(x) для вещественного параметра s приводит уравнение Абеля к уравнению Шредера, Ψ(f(x)) = s Ψ(x).

Дальнейшая замена F(x) = exp(s^α(x)) приводит к уравнению уравнению Бёттхера, F(f(x)) = F(x)^s.

Уравнение Абеля является частным случаем уравнения переноса (и легко обобщается им),

$\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)$,

например, для $\omega (x,1)=f(x)$,

$\omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)$. (Обратите внимание, что ω(x,0) = x.)

Функция Абеля α(x) дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли (однопараметрических групп Ли).

История

Изначально уравнение было получено в более общей форме. Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и требует специального анализа.

В случае линейной передаточной функции решение выражается компактно.

Особые случаи

Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля, когда f = exp.

В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует рекуррентную процедуру, например,

$\alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2$,

и так далее,

$\alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n.$

Решения

Уравнение Абеля имеет хотя бы одно решение на $E$ тогда и только тогда, когда для всех $x\in E$ и для всех $n\in \mathbb {N}$, $f^{n}(x)\neq x$, где $f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f$, функция f итерированная n раз.

Аналитические решения (координаты Фату) могут быть приближены асимптотическим разложением функции, заданной степенным рядом в секторах вокруг параболической неподвижной точки. Аналитическое решение единственно с точностью до константы.

См. также

• Функциональное уравнение
  • Уравнение Шредера
  • Уравнение Бёттхера
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Повторяющаяся функция
• Оператор смены
• Суперфункция