Уравнение Каратеодори

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Каратеодо́ри (названо в честь немецкого математика греческого происхождения Константина Каратеодори) — обыкновенное дифференциальное уравнение

в котором правая часть (т.е. компоненты вектор-функции ) удовлетворяет не классическому условию, обеспечивающему существование и единственность решения с заданным начальным значением (непрерывность по совокупности аргументов и условие Липшица по ), а некоторому существенно более слабому условию, называемому условием Каратеодори:

  • вектор-функция определена и непрерывна по для почти всех (в смысле меры Лебега) в области пространства .
  • вектор-функция измерима по для каждого в области .
  • для каждого ограниченного интервала оси в области выполняется неравенство где — суммируемая (т.е. интегрируемая по Лебегу) функция.

Решением уравнения Каратеодори (*) с начальным условием называется измеримая вектор-функция удовлетворяющая интегральному уравнению

Интеграл в (**) понимается в смысле интеграла Лебега для каждой компоненты вектор-функции . Корректность определения основана на том, что композиция измеримой функции и удовлетворяющей условию Каратеодори функции является суммируемой функцией от переменной

Уравнения Каратеодори находят применения в различных областях математики. Кроме того, они обладают многими свойствами, присущими классическим уравнениям с непрерывной правой частью.

Теорема существования и единственности[править | править код]

  • Предположим, что условие Каратеодори выполнено в области , тогда существует такое что уравнение (*) с начальным условием имеет решение на отрезке В качестве можно взять любое число, удовлетворяющее условиям
  • Если существует такая суммируемая функция что выполняется неравенство

или неравенство

где в случае точка означает скалярное произведение, то уравнение (*) с начальным условием в области имеет не более одного решения.

Литература[править | править код]

  • Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, — Наука, Москва, 1985.

Ссылки[править | править код]