Уравнение Каратеодори

Уравнение Каратеодо́ри (названо в честь немецкого математика греческого происхождения Константина Каратеодори) — обыкновенное дифференциальное уравнение

${\frac {dx}{dt}}=f(t,\;x),\ x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\ n\geqslant 1,\quad (*)$

в котором правая часть (то есть компоненты вектор-функции $f$) удовлетворяет не классическому условию, обеспечивающему существование и единственность решения с заданным начальным значением (непрерывность по совокупности аргументов и условие Липшица по $x$), а некоторому существенно более слабому условию, называемому условием Каратеодори:

• вектор-функция $f$ определена и непрерывна по $x$ для почти всех (в смысле меры Лебега) $t$ в области $D$ пространства $(t,\;x)$.
• вектор-функция $f$ измерима по $t$ для каждого $x$ в области $D$.
• для каждого ограниченного интервала оси $t$ в области $D$ выполняется неравенство $|f(t,\;x)|\leqslant m(t),$ где $m(t)$ — суммируемая (то есть интегрируемая по Лебегу) функция.

Решением уравнения Каратеодори (*) с начальным условием $x(t_{0})=x_{0}$ называется измеримая вектор-функция $x(t),$ удовлетворяющая интегральному уравнению

$x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,\;x(\tau ))\,d\tau .\quad (**)$

Интеграл в (**) понимается в смысле интеграла Лебега для каждой компоненты вектор-функции $f$. Корректность определения основана на том, что композиция измеримой функции $x(t)$ и удовлетворяющей условию Каратеодори функции $f(t,\;x)$ является суммируемой функцией от переменной $t.$

Уравнения Каратеодори находят применения в различных областях математики. Кроме того, они обладают многими свойствами, присущими классическим уравнениям с непрерывной правой частью.

Теорема существования и единственности

• Предположим, что условие Каратеодори выполнено в области $D=\{t_{0}\leqslant t\leqslant t_{0}+a,\;|x-x_{0}|\leqslant b\}$, $a,\;b>0,$ тогда существует такое $\delta >0,$ что уравнение (*) с начальным условием $x(t_{0})=x_{0}$ имеет решение $x(t)$ на отрезке $[t_{0},\;t_{0}+\delta ].$ В качестве $\delta$ можно взять любое число, удовлетворяющее условиям

$0<\delta \leqslant a,\quad \mu (t_{0}+\delta )\leqslant b,\quad \mu (t):=\int \limits _{t_{0}}^{t}m(\tau )\,d\tau .$

• Если существует такая суммируемая функция $l(t),$ что выполняется неравенство

$|f(t,\;x)-f(t,\;y)|\leqslant l(t)|x-y|,\quad \forall (t,\;x),\;(t,\;y)\in D,$

или неравенство

$(f(t,\;x)-f(t,\;y))\cdot (x-y)\leqslant l(t)|x-y|^{2},\quad \forall (t,\;x),\;(t,\;y)\in D,$

где в случае $n>1$ точка означает скалярное произведение, то уравнение (*) с начальным условием $x(t_{0})=x_{0}$ в области $D$ имеет не более одного решения.

Литература

• Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — Москва: Наука, 1985.

Ссылки

• Ахмеров Р. Р. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений