Уравнение Колмогорова — Чепмена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:

Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где  — оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени ().

Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов , преобразующих распределение вероятностей в момент времени в распределение вероятности в момент времени Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид

Для систем с дискретным временем параметры принимают натуральные значения.

Прямое и обратное уравнения Колмогорова[править | править вики-текст]

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по при получаем прямое уравнение Колмогорова:

где

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по при получаем обратное уравнение Колмогорова

Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.

Примеры[править | править вики-текст]

Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в для которых оператор переходных вероятностей задаётся переходной плотностью : вероятность перехода из области в область за время есть . Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:

При переходная плотность стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций):. Это означает, что Пусть существует предел (также обобщённая функция)

Тогда оператор действует на функции , определённые на как и прямое уравнение Колмогорова принимает вид

а обратное уравнение Колмогорова

Пусть оператор  — дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:

(это означает, что есть линейная комбинация первых и вторых производных с непрерывными коэффициентами). Матрица симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид

Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор в физической литературе называется вектором сноса, а матрица  — тензором диффузии Обратное уравнение Колмогорова в этом случае

См. также[править | править вики-текст]

Цепь Маркова
Уравнение Фоккера — Планка

Литература[править | править вики-текст]

  • Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1996. — 400 с.