Уравнение Коши — Эйлера

В математике (дифференциальных уравнениях) уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения, приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.

Уравнение порядка n

Общий вид уравнения :

$\sum _{k=0}^{n}{a_{k}(\alpha x+\beta )^{k}y^{(k)}(x)}=f(x)$.

Его частный случай :

$\sum _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}y^{(k)}(x)}=f(x)$.

Подстановка

Подстановка вида $\ (\alpha x+\beta )=e^{t}$ то есть $\ t=\ln(\alpha x+\beta )$ приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что $\ t_{x}'=\alpha (\alpha x+\beta )^{-1}$, $\ t_{xx}''=-\alpha ^{2}(\alpha x+\beta )^{-2}$ и $\ t_{xxx}'''=+2\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}$.
В соответствии с этим:

$\ y(t)=y(t(x))$

откуда

$\ y_{x}'(x)=y_{t}'(t)t_{x}'=y_{t}'(t)\alpha (\alpha x+\beta )^{-1}$

таким образом

$\ (\alpha x+\beta )y_{x}'(x)=\alpha y_{t}'(t)$

Вычислим очередную производную сложной функции

$\ y_{xx}''(x)=(y_{x}'(x))_{x}'=(y_{t}'(t)t_{x}')_{x}'=y_{tt}''(t)t_{x}'t_{x}'+y_{t}'(t)t_{xx}''=y_{tt}''(t)\alpha ^{2}(\alpha x+\beta )^{-2}+y_{t}'(t)(-\alpha ^{2})(\alpha x+\beta )^{-2}$,

что приводит к

$\ (\alpha x+\beta )^{2}y_{xx}''(x)=\alpha ^{2}(y_{tt}''(t)-y_{t}'(t))$.

и далее

$\ y_{xxx}'''(x)=(y_{xx}''(x))_{x}'=(y_{tt}''(t)(t_{x}')^{2}+y_{t}'(t)t_{xx}'')_{x}'=y_{ttt}'''(t)t_{x}'(t_{x}')^{2}+y_{tt}''(t)2t_{x}'t_{xx}''+y_{tt}''(t)t_{x}'t_{xx}''+y_{t}'(t)t_{xxx}'''=$

$\ =y_{ttt}'''(t)(t_{x}')^{3}+3y_{tt}''(t)t_{x}'t_{xx}''+y_{t}'(t)t_{xxx}'''=y_{ttt}'''(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}-3y_{tt}''(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}+2y_{t}'(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}$

что, аналогично, приводит к

$\ (\alpha x+\beta )^{3}y_{xxx}'''(x)=\alpha ^{3}(y_{ttt}'''(t)-3y_{tt}''(t)+2y_{t}'(t))$

Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n

Пример

Дано неоднородное уравнение

$\ (2x-1)^{3}y'''(x)+4(2x-1)^{2}y''(x)-8(2x-1)y'(x)=32\ln(2x-1)$.

Определив подстановку $\ t=\ln(2x-1)$ $\ \left((2x-1)=e^{t}\right)$, приходим к уравнению

$\ 8(y'''(t)-3y''(t)+2y'(t))+4\cdot 4(y''(t)-y'(t))-8\cdot 2y'(t)=32t$.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

$\ y'''(t)-y''(t)-2y'(t)=4t$,

решение которого имеет вид

$\ y(t)=c_{1}e^{-1t}+c_{2}e^{2t}+c_{3}+t-t^{2}$

или в терминах $\ x$

$\ y(x)=c_{1}(2x-1)^{-1}+c_{2}(2x-1)^{2}+c_{3}+ln(2x-1)-ln(2x-1)^{2}$

Уравнение второго порядка

Общий вид уравнения :

$\ a_{2}(\alpha x+\beta )^{2}y''(x)+a_{1}(\alpha x+\beta )y'(x)+a_{0}y(x)=f(x)$.

Его частный случай :

$\ a_{2}x^{2}y''(x)+a_{1}xy'(x)+a_{0}y(x)=f(x)$.

Подстановкой $\ (\alpha x+\beta )=e^{t}$ то есть $\ t=\ln(\alpha x+\beta )$
или, соответственно,

$\ x=e^{t}$ то есть $\ t=\ln x$

приводится к виду линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

$\ a_{2}\alpha ^{2}y''(t)+a_{1}\alpha y'(t)+a_{0}y(t)=f(e^{t})$.

или, соответственно,

$\ a_{2}y''(t)+a_{1}y'(t)+a_{0}y(t)=f(e^{t})$.

Пример

Дано неоднородное уравнение

$\ x^{2}y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=6x$.

Определив подстановку $\ t=\ln x$ ($\ x=e^{t}$), приходим к уравнению

$\ (y''(t)-y'(t))-2y'(t)+2y(t)=6e^{t}$.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

$\ y''(t)-3y'(t)+2y(t)=6e^{t}$,

решение которого имеет вид

$\ y(t)=c_{1}e^{+1t}+c_{2}e^{+2t}-6te^{+1t}$

или в терминах $\ x$

$\ y(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}-6x\ln x$

Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка

Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:

$\ x^{2}y''(x)+pxy'(x)+qy(x)=0$.

Его решениями являются функции вида:

$\ y(x)=x^{r}$,

где $r$ — корни характеристического уравнения

$\ r^{2}+(p-1)r+q=0$,

которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Если эти корни будут комплексными, то нужно воспользоваться формулой Эйлера и взять вещественную и мнимую части решения. Если же корни совпадут, то линейно независимыми решениями будут $\ x^{r}$ и $\ \ln(x)x^{r}$

Пример

Дано однородное уравнение

$\ x^{2}y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=0$.

Характеристическое уравнение которого имеет вид

$\ r^{2}+(-2-1)r+2=0\Leftrightarrow r^{2}-3r+2=0$,

с решениями $\ r_{1}=1$, $\ r_{2}=2$.
Тогда общее решение однородного уравнения

$\ y(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}$