Уравнение Коши — Эйлера |
Названо в честь |
Огюстен Луи Коши и Леонард Эйлер |
Первооткрыватель или изобретатель |
Леонард Эйлер |
Определяющая формула |
 |
В математике (дифференциальных уравнениях) уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения, приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.
Общий вид уравнения :
.
Его частный случай :
.
Подстановка вида
то есть
приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что
,
и
.
В соответствии с этим:

откуда

таким образом

Вычислим очередную
производную сложной функции
,
что приводит к
.
и далее


что, аналогично, приводит к

Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n
Дано неоднородное уравнение
.
Определив подстановку
,
приходим к уравнению
.
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
,
решение которого имеет вид

или в терминах 

Общий вид уравнения :
.
Его частный случай :
.
Подстановкой
то есть 
или, соответственно,
то есть 
приводится к виду
линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
.
или, соответственно,
.
Дано неоднородное уравнение
.
Определив подстановку
(
),
приходим к уравнению
.
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
,
решение которого имеет вид

или в терминах 

Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:
.
Его решениями являются функции вида:
,
где
— корни характеристического уравнения
,
которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами,
полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Если эти корни будут комплексными, то нужно воспользоваться формулой Эйлера и взять вещественную и мнимую части решения. Если же корни совпадут, то линейно независимыми решениями будут
и
Дано однородное уравнение
.
Характеристическое уравнение которого имеет вид
,
с решениями
,
.
Тогда общее решение однородного уравнения
