Уравнение Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Механика сплошных сред
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
Сплошная среда
См. также: Портал:Физика

Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости.

Классическое уравнение Эйлера[править | править исходный текст]

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

\int\limits_V \frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dm = \int\limits_V \mathbf{g} \,dm - \oint\limits_S p \,d\mathbf{S} ,

где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что dm = \rho \, dV, где \rho — плотность жидкости в данной точке, получим:

\int\limits_V \rho\,\frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dV = \int\limits_V \rho\,\mathbf{g} \,dV - \int\limits_V \nabla p \,dV

В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

\rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \rho \mathbf{g} - \nabla p

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

\frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

 \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v} = \mathbf{g} - \frac{1}{\rho}\nabla p


где \rho\left(x,y,z,t\right) — плотность жидкости,
p\left(x,y,z,t\right) — давление в жидкости,
\mathbf{v}\left(x,y,z,t\right) — вектор скорости жидкости,
\mathbf{g}\left(x,y,z,t\right) — вектор напряжённости силового поля,
\nablaоператор набла для трёхмерного пространства.

Частные случаи[править | править исходный текст]

Стационарный одномерный поток[править | править исходный текст]

Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид:

v\frac{dv}{dx}=-\frac {1}{\rho}\cdot \frac {dp}{dx}

В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по x при постоянной плотности жидкости \rho получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:

\frac{\rho v^2}{2}+p=const

Несжимаемая жидкость[править | править исходный текст]

Пусть \rho = const. Используя известную формулу

\frac{1}{2}\,\operatorname{grad}\,v^2\,=\,[\mathbf{v}\, \operatorname{rot}\,\mathbf{v}]\,+\,\left(\mathbf{v\nabla}\right)\mathbf{v},

перепишем соотношение в форме

\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}\,+\frac{1}{2}\,\operatorname{grad}\,v^2\,=
\,[\mathbf{v}\, \operatorname{rot}\,\mathbf{v}]\,-\operatorname{grad}\frac{p}{\rho}

Беря ротор и учитывая, что

\operatorname{rot}\,\operatorname{grad} \,\phi= 0,

а частные производные коммутируют, получаем что

\frac{\partial}{\partial t}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}\,=\,\operatorname{rot}\,[\mathbf{v}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}]


Адиабатическое течение[править | править исходный текст]

В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции w\, следующим образом:

dw\,=\,V\,dp\,+\,T\,ds\,=\,V\,dp в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия s постоянна.

Следовательно:

\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}\,+\,\left(\mathbf{v\nabla}\right)\mathbf{v}\,=\,-\operatorname{grad}\,w

используя известное соотношение:

\frac{1}{2}\,\operatorname{grad}\,v^2\,=\,[\mathbf{v}\, \operatorname{rot}\,\mathbf{v}]\,+\,\left(\mathbf{v\nabla}\right)\mathbf{v},

и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера получим искомое представление в виде:

\frac{\partial}{\partial t}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}\,=\,\operatorname{rot}\,[\mathbf{v}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}]

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Русский перевод мемуара Эйлера, в котором впервые опубликованы уравнения движения идеальной жидкости