Уравнение Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 ⛭  Механика сплошных сред
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
Сплошная среда
См. также: Портал:Физика

Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени?[1]

Классическое уравнение Эйлера[править | править вики-текст]

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

,

где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что , где — плотность жидкости в данной точке, получим:

В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:


где — плотность жидкости,
— давление в жидкости,
— вектор скорости жидкости,
— вектор напряжённости силового поля,
оператор набла для трёхмерного пространства.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Стационарный одномерный поток[править | править вики-текст]

Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид:

В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по при постоянной плотности жидкости получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:

Несжимаемая жидкость[править | править вики-текст]

Пусть . Используя известную формулу

,

перепишем соотношение в форме

Беря ротор и учитывая, что

,

а частные производные коммутируют, получаем что


Адиабатическое течение[править | править вики-текст]

В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции следующим образом:

в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия s постоянна.

Следовательно:

используя известное соотношение:

,

и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера получим искомое представление в виде:

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Русский перевод мемуара Эйлера, в котором впервые опубликованы уравнения движения идеальной жидкости