Уравнение состояния Ми — Грюнайзена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение состояния Ми — Грюнайзена — это уравнение, описывающее связь между давлением и объёмом тела при заданной температуре. Это уравнение в том числе используется для определения давления в процессе ударного сжатия твёрдого тела. Названо в честь немецкого физика Эдуарда Грюнайзена. Уравнение состояния Ми — Грюнайзена представляется в следующей[1] форме:

где p0 и e0 — давление и внутренняя энергия в начальном состоянии, V — объём, p — давление, e — внутренняя энергия, и Γ — коэффициент Грюнайзена, который характеризует термическое давление со стороны колеблющихся атомов. p — полное давление, p0 — «холодное» давление. Коэффициент Грюнайзена безразмерен. В правой части уравнения Ми — Грюнайзена находится тепловое давление.

Функция Грюнайзена[2] — мера изменения давления при изменении энергии системы при постоянном объёме. Она определяется по соотношению:

Производная берётся при постоянном объёме.

Уравнение Ми — Грюнайзена предполагает линейную зависимость давления от внутренней энергии. Для определения функции Грюнайзена используются методы статистической физики и предположение о линейности межатомных взаимодействий.

Оно используется для решения определённых термо-механических задач: определении эффектов ударной волны, термическом расширении твёрдых тел, быстром нагревании материалов из-за поглощения ядерного излучения[3].

Для вывода уравнения Ми — Грюнайзена используется уравнение Ранкина-Гюгонио для сохранения массы, момента и энергии:

где ρ0 — относительная плотность, ρ — плотность после ударного сжатия, pH — давление Гюгонио, EH — удельная внутренняя энергия (на единицу массы) Гюгонио, Us — скорость удара, и Up — скорость частиц.

Параметры для различных материалов[править | править вики-текст]

Типичные различные для разных материалов величины для моделей в форме Ми — Грюнайзена.[4]

Материал (kg/m3) (m/s) (K)
Медь 8924 3910 1.51 1.96 1 0 0
Вода 1000 1483 2.0 2.0 10−4 0 0

Параметр Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями[править | править вики-текст]

Выражение для параметра Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями в пространстве размерности имеет вид[1]:

где  — потенциал межатомного взаимодействия,  — равновесное расстояние,  — размерность пространства. Связь параметра Грюнайзена с параметрами потенциалов Леннард-Джонса, Ми и Морзе представлена в таблице.

Решетка Размерность Потенциал Леннард-Джонса Потенциал Ми Потенциал Морзе
Цепочка
Треугольная решётка
ГЦК, ОЦК
«Гиперрешётка»
Общая формула

Выражение для параметра Грюнайзена одномерной цепочки с взаимодействиями посредством потенциала Ми, приведенное в таблице, в точности совпадает с результатом статьи[5].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры // Известия РАН. Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3. — С. 67—72.
  2. Vocadlo L., Poirer J.P., Price G.D. Grüneisen parameters and isothermal equations of state. American Mineralogist. — 2000. V. 85. — P. 390—395.
  3. Harris P., Avrami L. Some Physics of the Gruneisen Parameter. Technical report. — 1972.
  4. Shyue K.-M., A Fluid-Mixture Type Algorithm for Compressible Multicomponent Flow with Mie-Gruneisen Equation of State // Journal of Computational Physics. — 2001. Vol. 52. 3363 p.
  5. MacDonald, D. K. C. & Roy, S.K. (1955), "Vibrational Anharmonicity and Lattice Thermal Properties. II", Phys. Rev. Т. 97: 673–676, DOI 10.1103/PhysRev.97.673