Уравнение состояния Ми — Грюнайзена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение состояния Ми — Грюнайзена — это уравнение, описывающее связь между давлением и объёмом тела при заданной температуре. Это уравнение в том числе используется для определения давления в процессе ударного сжатия твёрдого тела. Названо в честь немецкого физика Эдуарда Грюнайзена. Уравнение состояния Ми — Грюнайзена представляется в следующей[1] форме:

   p - p_0 = \frac{\Gamma}{V} (e - e_0)

где p0 и e0 — давление и внутренняя энергия в начальном состоянии, V — объём, p — давление, e — внутренняя энергия, и Γ — коэффициент Грюнайзена, который характеризует термическое давление со стороны колеблющихся атомов. p — полное давление, p0 — «холодное» давление. Коэффициент Грюнайзена безразмерен. В правой части уравнения Ми — Грюнайзена находится тепловое давление.

Функция Грюнайзена[2] — мера изменения давления при изменении энергии системы при постоянном объёме. Она определяется по соотношению:

\Gamma = V \left(\frac{dp}{de}\right)_V

Производная берётся при постоянном объёме.

Уравнение Ми — Грюнайзена предполагает линейную зависимость давления от внутренней энергии. Для определения функции Грюнайзена используются методы статистической физики и предположение о линейности межатомных взаимодействий.

Оно используется для решения определённых термо-механических задач: определении эффектов ударной волны, термическом расширении твёрдых тел, быстром нагревании материалов из-за поглощения ядерного излучения[3].

Для вывода уравнения Ми — Грюнайзена используется уравнение Рaнкина-Гюгонио для сохранения массы, момента и энергии:

   \rho_0 U_s = \rho (U_s - U_p) ~~, \quad p_H - p_{H0} = \rho_0 U_s U_p ~~, \quad
   p_H U_p = \rho_0 U_s \left(\frac{U_p^2}{2} + E_H - E_{H0}\right)

где ρ0 — относительная плотность, ρ — плотность после ударного сжатия, pH — давление Гюгонио, EH — удельная внутренняя энергия (на единицу массы) Гюгонио, Us — скорость удара, и Up — скорость частиц.

Параметры для различных материалов[править | править вики-текст]

Типичные различные для разных материалов величины для моделей в форме Ми — Грюнайзена.[4]

Материал \rho_0 (kg/m3) c_0 (m/s) s \Gamma_0 \alpha p_0 e_0 (K)
Медь 8924 3910 1.51 1.96 1 0 0
Вода 1000 1483 2.0 2.0 10−4 0 0

Параметр Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями[править | править вики-текст]

Выражение для параметра Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями в пространстве размерности d имеет вид[1]:


    \Gamma_0 = -\frac{1}{2d}\frac{\Pi'''(a)a^2 + (d-1)\left[\Pi''(a)a - \Pi'(a)\right]}{\Pi''(a)a + (d-1)\Pi'(a)},

где \Pi — потенциал межатомного взаимодействия, a — равновесное расстояние, d — размерность пространства. Связь параметра Грюнайзена с параметрами потенциалов Леннард-Джонса, Ми и Морзе представлена в таблице.

Решетка Размерность Потенциал Леннард-Джонса Потенциал Ми Потенциал Морзе
Цепочка  d=1 10\frac{1}{2} \frac{m+n+3}{2} \frac{3\alpha a}{2}
Треугольная решётка d=2 5  \frac{m+n+2}{4}  \frac{3\alpha a - 1}{4}
ГЦК, ОЦК d=3 \frac{19}{6} \frac{n+m+1}{6} \frac{3\alpha a-2}{6}
«Гиперрешётка» d=\infty -\frac{1}{2} -\frac{1}{2} -\frac{1}{2}
Общая формула d \frac{11}{d}-\frac{1}{2} \frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2} \frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}

Выражение для параметра Грюнайзена одномерной цепочки с взаимодействиями посредством потенциала Ми, приведенное в таблице, в точности совпадает с результатом статьи[5].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры // Известия РАН. Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3. — С. 67—72.
  2. Vocadlo L., Poirer J.P., Price G.D. Grüneisen parameters and isothermal equations of state. American Mineralogist. — 2000. V. 85. — P. 390—395.
  3. Harris P., Avrami L. Some Physics of the Gruneisen Parameter. Technical report. — 1972.
  4. Shyue K.-M., A Fluid-Mixture Type Algorithm for Compressible Multicomponent Flow with Mie-Gruneisen Equation of State // Journal of Computational Physics. — 2001. Vol. 52. 3363 p.
  5. MacDonald, D. K. C. & Roy, S.K. (1955), "«Vibrational Anharmonicity and Lattice Thermal Properties. II»", Phys. Rev. Т. 97: 673–676, DOI 10.1103/PhysRev.97.673