Уравнение теплопроводности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки.

Уравнение теплопроводности — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и его изменение во времени.

Вид уравнения[править | править вики-текст]

В пространстве с произвольной системой координат \mathbf{r}=(r_1, \ldots, r_n) уравнение теплопроводности имеет вид

\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \Delta u=f(\mathbf{r},t),

где a — положительная константа (число a^2 является коэффициентом температуропроводности), \Delta = \nabla^2оператор Лапласа и f(\mathbf{r},t) — функция тепловых источников[1]. Искомая функция u = u(\mathbf{r},t) задает температуру в точке с координатами \mathbf{r} в момент времени t.

В пространстве с декартовыми координатами x = (x_1, \ldots, x_n) уравнение теплопроводности принимает вид

\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 
\left(\frac{\partial^2u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2u}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2u}{\partial x_n^2}\right) = f(x,t).

Уравнение теплопроводности называется однородным, если f(x,t) \equiv 0, т.е. система теплоизолирована.

Задача Коши для уравнения теплопроводности[править | править вики-текст]

Однородное уравнение[править | править вики-текст]

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:

\begin{array}{l}
\displaystyle 
\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \Delta u = 0,
\quad x \in \mathbb{R}^n, \; t>0, \\ 
{}\qquad 
u(x,\;0)=\varphi(x), \quad x \in \mathbb{R}^n, \\
\end{array}

где \varphi(x)начальная функция, непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция u=u(x,t) является непрерывной и ограниченной при t \geq 0 и всех значениях аргумента x.

Для однородной задачи Коши имеют место следующие свойства[2]:

  • Принцип максимума (теорема о максимуме и минимуме): Решение однородной задачи Коши удовлетворяет неравенствам  \inf \varphi \leq u(x,t) \leq \sup \varphi при всех x \in \mathbb{R}^n и t>0.
  • Теорема существования и единственности: Для любого T>0 решение однородной задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальной функции \varphi(x) в полосе S = \{(x,t): 0 \leq t \leq T, \ x \in \mathbb{R}^n\}. Другими словами, данная задача Коши является корректно поставленной[3].
  • Фундаментальным решением или ядром уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием \varphi(x)=\delta(x), где \,\delta(x)дельта-функция Дирака. Оно имеет вид:
 
\Phi(x,t) = \frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \exp \biggl(-\frac{|x|^2}{4a^2 t} \biggr), \ \ x \in \mathbb{R}^n, \ t>0.
где |x|^2 = x_1^2 + \cdots+ x_n^2 — стандартный скалярный квадрат вектора x \in \mathbb{R}^n.
  • Интеграл Пуассона: В пространстве с декартовыми координатами решение однородной задачи Коши задается в виде интегральной формулы, называемой интегралом Пуассона. Именно, u(x,t) при всех t>0 есть свёртка по пространственной переменной x фундаментального решения с начальной функцией:
u(x,t) = \int \limits_{\mathbf{R}^n} \Phi(x-y,t)\, \varphi(y)\, dy = \frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \int \limits_{\mathbf{R}^n} \exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 t} \biggr)\, \varphi(y)\, dy.
  • Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши (отметим, что неограниченных решений существует бесконечно много).
  • Физический парадокс: из формулы Пуассона следует, что если начальная функция \varphi равна нулю всюду, за исключением некоторой ограниченной области, например, заданной условием |x| < \epsilon, в которой она положительна, то через сколь угодно малый промежуток времени t>0 решение u(x,t) будет строго положительным во всех точках пространства, со сколь угодно большими значениями |x|. Отсюда следует парадоксальное с физической точки зрения утверждение, что тепло распространяется с бесконечной скоростью. Объяснение парадокса состоит в том, что уравнение теплопроводности не вполне точно описывает реальный физический процесс распространения тепла. Практика показывает, что в большинстве случаев это уравнение всё же дает достаточно хорошее приближение[2].

Неоднородное уравнение[править | править вики-текст]

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности:

\begin{array}{l}
\displaystyle 
\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \Delta u = f(x,t),
\quad x \in \mathbb{R}^n, \; t>0, \\ 
{}\qquad 
u(x,\;0)=\varphi(x), \quad x \in \mathbb{R}^n. \\
\end{array}


В этом случае интеграл Пуассона имеет вид[4]:

u(x,t) = 
\frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \int \limits_{\mathbf{R}^n} 
\exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 t} \biggr)\, \varphi(y)\, dy +


+ \int \limits_0^t
\int \limits_{\mathbf{R}^n} \frac{1}{(2a\sqrt{\pi (t-s)})^n}
\exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 (t-s)} \biggr)\, f(y,s)\, dy\,ds.

Одномерное уравнение теплопроводности[править | править вики-текст]

Для случая одной пространственной переменной x (задача о нагревании или охлаждении стержня) уравнение теплопроводности принимает вид

u_t - a^2 u_{xx} = f(x,t).

Для этого уравнения можно ставить и решать различные краевые задачи, один из методов решения которых предложен французским математиком Фурье и носит его имя[5]

Метод разделения переменных (Метод Фурье)[править | править вики-текст]

Однородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями[править | править вики-текст]

Рассмотрим следующую задачу:

\begin{array}{l}
u_t=a^2 u_{xx},\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T \\ 
u(x,\;0)=\varphi(x);\quad 0\leqslant x\leqslant l \\
\left.\begin{array}{l}
u(0,\;t)=0, \\ 
u(l,\;t)=0. \\ 
\end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T \\ 
\end{array}

Требуется найти функцию u(x,\;t) для \forall(x,\;t):0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T.

Представим искомую функцию в виде произведения

u(x,\;t)=X(x)T(t).

Затем предполагаемую форму решения подставим в исходное уравнение, получим

X(x)T'(t)=a^2 X''(x)T(t).

Разделим выражение на a^2 X(x)T(t):

\frac{1}{a^2}\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,\;\lambda=\mathrm{const}.

Так как в левой части уравнения у нас находится функция зависящая только от t, а в правой — только от x, то, фиксируя любое значение x в правой части, получаем, что для любого t значение левой части уравнения постоянно. Таким же образом можно убедиться, что и правая часть постоянна, то есть равна некой константе -\lambda (минус взят для удобства). Таким образом, мы получаем два обыкновенных линейных дифференциальных уравнения:

\begin{array}{l}
X''(x)+\lambda X(x) = 0, \\ 
T'(t)+a^2\lambda T(t)=0.
\end{array}

Обратим внимание на граничные условия исходной задачи и подставим в них предполагаемый вид уравнения, получим:

\begin{array}{l}
u(0,\;t)=X(0)T(t)=0, \\ 
u(l,\;t)=X(l)T(t)=0,
\end{array}

откуда X(0)=X(l)=0 (T(t)\ne 0, так как в противном случае мы имели бы решение u(x,\;t)=0, а мы ищем только нетривиальные решения).

С учетом полученных граничных условий мы получаем задачу Штурма — Лиувилля:

\begin{array}{l}
X''(x)+\lambda X(x)=0; \\ 
X(0)=0, \\ 
X(l)=0. \\ 
\end{array}

Её решение сводится к решению линейного дифференциального уравнения и рассмотрению трёх случаев:

  1. \lambda<0.
    В этом случае общий вид решения будет следующим:
    X(x)=C_1 e^{\sqrt{-\lambda}x}+C_2 e^{-\sqrt{-\lambda}x}.
    Подставив граничные условия, мы убедимся, что решение будет X(x)\equiv 0, а мы ищем только нетривиальные решения, следовательно, этот случай не подходит.
  2. \lambda=0.
    Общий вид решения
    X(x)=C_1 x+C_2.
    Несложно убедиться, что этот вариант нам также не подходит.
  3. \lambda>0.
    Общий вид решения
    X(x)=C_1\cos(\sqrt\lambda x)+C_2\sin(\sqrt\lambda x).
    Подставим граничные условия:
    \begin{array}{l}
X(0)=C_1=0, \\ 
X(l)=C_2\sin(\sqrt\lambda l)=0.
\end{array}
    Так как мы ищем только нетривиальные решения, C_2=0 нам не подходит, следовательно
    \begin{array}{l}
\sin(\sqrt\lambda l)=0, \\ 
\sqrt\lambda l=\pi n,\quad n=1,\;2,\;\ldots \\ 
\end{array}
    \lambda_n=\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2,\quad n=1,\;2,\;\ldots
    Отсюда
     X_n(x)=C_n\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right),\;\quad n=1,\;2,\;\ldots

C учетом найденных \lambda, выведем общее решение линейного дифференциального уравнения

T'(t)+a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 T(t)=0.

Должен получиться ответ

T_n(t)=D_n\exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 t\right),\quad D_n=\mathrm{const}.

Теперь всё готово для того, чтобы записать решение исходной задачи:

u_n(x,\;t)=X_n(x)T_n(t)=C_n\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right)\exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 t\right),\quad n=1,\;2,\;\ldots

В результате у нас получилось бесконечное количество частных решений уравнения. Все эти частные решения линейно независимы, то есть линейная комбинация любого количества решений равна нулю, только если все коэффициенты при них равны нулю. Поэтому логично предположить, что суммируя все частные решения по n от единицы до бесконечности, мы получим общее решение исходной задачи.

u(x,\;t)=\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x, \;t)=\sum\limits_{n=1}^\infty C_n\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right)\exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 t\right).

Осталось определить значение константы C (зависящей от n) из начального условия

u(x,\;0)=\varphi(x).

Для того, чтобы определить значение C_n, необходимо разложить функцию \varphi(x) в ряд Фурье:

\begin{array}{l}
\varphi(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty A_n\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right), \\ 
A_n=\dfrac{2}{l}\displaystyle\int\limits_0^l \varphi(\xi)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi.
\end{array}

Получаем:

\begin{array}{l}
u(x,\;0)=\sum\limits_{n=1}^\infty C_n\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty A_n\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right), \\ 
C_n=A_n=\dfrac{2}{l}\displaystyle\int\limits_0^l \varphi(\xi)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi.
\end{array}

Откуда общее решение:

u(x,\;t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\dfrac{2}{l}\int\limits_0^l \varphi(\xi)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi\right)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right)\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right).

В курсе математической физики доказывается, что полученный ряд удовлетворяет всем условиям данной задачи, то есть функция u(x,\;t) дифференцируема (и ряд сходится равномерно), удовлетворяет уравнению в области определения и непрерывна в точках границы этой области.

Неоднородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями[править | править вики-текст]

Рассмотрим следующую задачу для неоднородного уравнения:

\begin{array}{l}
u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T \\ 
u(x,\;0)=0;\quad 0\leqslant x\leqslant l \\ 
\left.\begin{array}{l}
u(0,\;t)=0, \\ 
u(l,\;t)=0. \\ 
\end{array} \right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T
\end{array}

Пусть


\begin{array}{l}
u_n(x,\;t)=X_n(x)T_n(t), \\ 
f_n(x,\;t)=X_n(x)F_n(t), \\ 
X_n(x)=\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right).
\end{array}

Тогда, пользуясь очевидным соотношением X''_n(x)=-\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 X_n(x), перепишем исходное уравнение как:

\begin{array}{l}
X_n(x)T'_n(t)=-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 X_n(x)T_n(t)+X_n(x)F_n(t), \\ 
T'_n(t)=-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 T_n(t)+F_n(t).
\end{array}

Решим последнее линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянной. Сначала найдём общее решение однородного линейного уравнения

\begin{array}{l}
T'_n(t)=-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 T_n(t), \\ 
T_n(t)=D\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right).
\end{array}

В общем решении заменим постоянную D на переменную D(t) и подставим в исходное уравнение.

\begin{array}{l}
T_n(t)=D(t)\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right), \\ 
D'_n(t)\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)D_n(t)=-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)D_n(t)+F_n(t), \\ 
D'_n(t)\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)=F_n(t), \\ 
D_n(t)=\displaystyle\int F_n(t)\exp\left(a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)\,dt+A_n, \\ 
T_n(t)=A_n\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)+\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)\displaystyle\int F_n(t)\exp\left(a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right)\,dt.
\end{array}

Из начального условия получаем:

\begin{array}{l}
u_n(x,\;0)=X_n(x)T_n(0)=0, \\ 
T_n(0)=0.
\end{array}

С учетом условия для T, получаем

T_n(t)=\int\limits_0^t \exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 (t-\tau)\right)F_n(\tau)\,d\tau.

Так как

f_n(x,\;t)=X_n(x)F_n(t)=\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right)F_n(t),

то F_n(t), очевидно, является коэффициентом ряда Фурье, и равен

F_n(t)=\frac{2}{l}\int\limits_0^l f(\xi,\;t)\sin\left(\frac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi.

В результате, общая формула такова:

u(x,\;t)=\sum\limits_{n=1}^\infty X_n(x)T_n(t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \left[\int\limits_0^t \exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 (t-\tau)\right)\left\{\frac{2}{l}\int\limits_0^l f(\xi,\;\tau)\sin\left(\frac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi\right\}\,d\tau\right]\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right).

Общая первая краевая задача[править | править вики-текст]

Во многих случаях удаётся решить неоднородное уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми и начальным условиями

\begin{array}{l}
u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t), \\ 
u(x,\;0)=\varphi(x), \\ 
u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ 
u(l,\;t)=\mu_2(t)
\end{array}

с помощью методов, описанных выше и следующего несложного приёма. Представим искомую функцию в виде суммы:

\begin{array}{l}
u(x,\;t)=\tilde u(x,\;t)+U(x,\;t), \\ 
\tilde u(x,\;0)=u(x,\;0)-U(x,\;0)=\varphi(x)-U(x,\;0), \\ 
\tilde u(0,\;t)=0, \\ 
\tilde u(l,\;t)=0.
\end{array}

Найдём функцию U(x,\;t):

\begin{array}{l}
U(x,\;t)=Ax+b, \\ 
U(0,\;t)=b=\mu_1(t), \\ 
U(l,\;t)=Al+\mu_1=\mu_2\Rightarrow A=\dfrac{\mu _2(t)-\mu_1(t)}{l}, \\ 
U(x,\;t)=\dfrac{\mu_2(t)-\mu_1(t)}{l}x+\mu_1(t).
\end{array}

Таким образом, исходная задача свелась к следующей:

\begin{array}{l}
\tilde u_t=a^2\tilde u_{xx}+f(x,\;t)-\dfrac{\mu'_2(t)-\mu'_1(t)}{l}x-\mu'_1(t), \\ 
\tilde u(x,\;0)=\varphi(x)-\dfrac{\mu_2(0)-\mu_1(0)}{l}x-\mu_1(0), \\ 
\tilde u(0,\;t)=0, \\ 
\tilde u(l,\;t)=0.
\end{array}

После того, как мы найдём функцию \tilde u(x,\;t), искомую функцию найдём по формуле

u(x,\;t)=\tilde u(x,\;t)+\frac{\mu_2-\mu_1}{l}x+\mu_1.

Литература[править | править вики-текст]

На русском языке:[править | править вики-текст]

  • Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III. — Любое издание.

На английском языке:[править | править вики-текст]

  • Evans, L.C. (1998), «Partial Differential Equations», American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 
  • Wilmott, P.; Howison, S. & Dewynne, J. (1995), «The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction», Cambridge University Press 
  • Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), «Conduction of Heat in Solids» (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9 
  • Thambynayagam, R. K. M. (2011), «The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers», McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1 
  • Perona, P & Malik, J. (1990), "«Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion»", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence Т. 12 (7): 629–639 

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III, § 1. — Любое издание.
  2. 1 2 Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
  3. Утверждения о единственности и непрерывной зависимости решения являются простым следствием принципа максимума.
  4. Erich Miersemann. Partielle Differenzialgleichungen, p. 156
  5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III, § 2. — Любое издание.