Уравнения Петерсона ― Кодацци

Уравнения Петерсона ― Кодацци (или Петерсона ― Майнарди ― Кодацци) ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.

Уравнения

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид

${\frac {\partial b_{i1}}{\partial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2}b_{22}={\frac {\partial b_{i2}}{\partial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{2}b_{21}$

где $b_{ij}$ ― коэффициенты второй квадратичной формы, $\Gamma _{jk}^{i}$ ― символы Кристоффеля.

Свойства

• Теорема Бонне. Пусть $g=g_{ij}$ и $b=b_{ij}$, $i,j\in \{1,2\}$ две гладкие квадратичные формы заданые в односвязной области $U$. Если $g$ и $b$ удовлетворяют уравнениям Петерсона ― Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$, для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
  • Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.

История

Уравнения впервые найдены Петерсоном в 1853, переоткрыты Майнарди и Кодацци(1867).

Вариации и обобщения

Известен вариант уравнений для гиперповерхносей в пространствах старших размерностей, а также для произвольных коразмерностей.

Литература

• Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, М., 1956.
• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.