Усечённая квадратная мозаика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Усечённая квадратная мозаика
1-uniform n2.svg
Тип Полуправильная мозаика
Конфигурация вершины Truncated square tiling vertfig.png 4.8.8]]
Символ Шлефли t{4,4}
tr{4,4} или
Символ Визоффа 2 | 4 4
4 4 2 |
Симметрии p4m, [4,4], (*442)
Симметриии
вращения
p4, [4,4]+, (442)
Диаграммы Коксетера — Дынкина CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png bили CDel node 1.pngCDel split1-44.pngCDel nodes 11.png
Группа Коксетера H4, [5,3,3,3]
Двойственные соты Разделённая квадратная мозаика
Свойства Изогональные соты

В геометрии усечённая квадратная мозаика — это полуправильные мозаики из правильных многоугольников на евклидовой плоскости с одним квадратом и двумя восьмиугольниками в каждой вершине. Это единственная мозаика из правильных выпуклых многоугольников, содержащая соприкасающиеся сторонами восьмиугольники. Символ Шлефли мозаики равен t{4,4}.

Конвей называл эти мозаики «truncated quadrille» (усечённая кадриль), поскольку она строится на основе операции усечения на квадратном паркете (кадрили).

Другие названия для этой схемы — средиземноморская мозаика и восьмиугольная мозаика, которые часто используют меньшие квадраты, а восьмиугольники имеют перемежающиеся длинные и короткие стороны.

На плоскости существует 3 правильных и 8 полуправильных мозаик[en].

Однородные раскраски[править | править код]

Существует две различные однородные раскраски усечённой квадратной мозаики. (Названия раскрасок по индексам цветов вокруг вершины (4.8.8): 122, 123.)

Uniform tiling 44-t12.png
2 цвета: 122
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 44-t012.png
3 цвета: 123
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png

Упаковка кругов[править | править код]

Мозаика из усечённых квадратов может быть использована для упаковки кругов, если разместить круги одинакового диаметра с центрами в вершинах мозаики. Каждый круг касается 3 других кругов в упаковке (контактное число)[1]. Поскольку все многоугольники имеют чётное число сторон, круги можно раскрасить альтернативным образом, как показано на втором рисунке.

Truncated square tiling circle packing.png Truncated square tiling circle packing2.png

Варианты[править | править код]

Вариант мозаики, часто называемой средиземноморской мозаикой, состоит из более мелких квадратных плиток, расположенных диагонально относительно границ. Другие варианты содержат растянутые квадраты или восьмиугольники.

Пифагорова мозаика перемежает большие и маленькие квадраты и топологически эквивалентна усечённой квадратной мозаике. В ней квадраты повёрнуты на 45 градусов, а восьмиугольники преобразованы в квадраты с вершинами в середине сторон.

Плетёная мозаика тоже имеет ту же топологию, что и усечённая квадратная мозаика со сплющенными в прямоугольники восьмиугольниками.

p4m, (*442) pmm (*2222) p4g, (4*2) cmm, (2*22)
Mediterranean tiling.png Octagon rectangle tiling.png Octagon rhombus tiling.png Distorted truncated square tiling 4.svg Distorted truncated square tiling.png Weaved truncated square tiling0.png Weaved truncated square tiling.png
p4m, (*442) pmm (*2222) p4, (442) p4g, (4*2) cmm, (2*22)
Mediterranean tiling2.png Truncated rhombic tiling.png Truncated rectangular tiling.png Distorted truncated square tiling 3.svg Distorted truncated square tiling2.png Weaved truncated square tiling0b.png Weaved truncated square tiling2.png
Средиземноморская мозаика Вытянутая мозаика Пифагорова мозаика Плетения

Голландская кладка имеет ту же топологическую структуру со сплющенными в прямоугольники восьмиугольниками:

Brickwork in flemish bond.svg

Связанные многогранники и мозаики[править | править код]

Усечённая квадратная мозаика (топологически) является частью последовательности однородных многогранников и мозаик с вершинными фигурами 4.2n.2n:

3-мерные биусечённые кубические соты[en], спроектированные в плоскость дают две копии усечённой мозаики. На плоскости соты могут быть представлена как составная мозаика, а комбинацию можно рассматривать как квадратную мозаику со снятой фаской[en].

Uniform tiling 44-t01.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 44-t12.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
Chamfered square tiling.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png + CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png

Построение Визоффа из квадратной мозаики[править | править код]

Если раскрасить исходные грани квадратной мозаики красным цветом, жёлтым цветом плитки на месте вершин и синим цветом плитки на месте исходных сторон, все 8 форм будут различными. Однако, если рассматривать грани одинаково (как раскрашенные одним цветом), существует только три уникальные топологические формы: квадратная мозаика, усечённая квадратная мозаика, плосконосая квадратная мозаика.

Связанные мозаики в других симметриях[править | править код]

*n42 симметрии общеусечённых мозаик: 4.8.2n
Симметрия
*n42
[n,4]
Сферическая Евклидова Компактная гиперболическая Паракомп.
*242
[2,4]
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]…
*∞42
[∞,4]
Общеусечённая
фигура
Spherical octagonal prism2.png
4.8.4
Uniform tiling 432-t012.png
4.8.6
Uniform tiling 44-t012.png
4.8.8
H2 tiling 245-7.png
4.8.10
H2 tiling 246-7.png
4.8.12
H2 tiling 247-7.png
4.8.14
H2 tiling 248-7.png
4.8.16
H2 tiling 24i-7.png
4.8.∞
Общеусечённые
двойственные
Spherical octagonal bipyramid2.png
V4.8.4
Spherical disdyakis dodecahedron.png
V4.8.6
1-uniform 2 dual.svg
V4.8.8
Order-4 bisected pentagonal tiling.png
V4.8.10
Hyperbolic domains 642.png
V4.8.12
Hyperbolic domains 742.png
V4.8.14
Hyperbolic domains 842.png
V4.8.16
H2checkers 24i.png
V4.8.∞

Разделённая квадратная мозаика[править | править код]

Разделённая квадратная мозаика — это мозаика евклидовой плоскости, двойственная усечённой квадратной мозаике. Она может быть построена, исходя из квадратной мозаики путём деления каждого квадрата на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника, образуя бесконечную конфигурацию прямых. Эту же мозаику можно получить из квадратной мозаики путём деления каждого квадрата на два треугольника по диагонали, меняя попеременно направление диагоналей. Можно получить мозаику наложением двух квадратных решёток, одна из которых повёрнута на 45 градусов относительно другой и увеличена на множитель 2.

Конвей называл эту мозаику «kisquadrille» = «kis + quadrille»[2], где kis — операция, которая добавляет центральную точку и треугольники и заменяет тем самым грани квадратной мозаики («quadrille»). Мозаика также иногда называется решёткой Union Jack ввиду сходства с флагом Великобритании[3].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Critchlow, 1987, с. 74-75.
  2. Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008, с. 288 table.
  3. Stephenson, 1970, с. 4405–4409.

Литература[править | править код]

  • Keith Critchlow. circle pattern H // Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson Inc., 1987. — ISBN 0-500-34033-1.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • John Stephenson Ising Model with Antiferromagnetic Next-Nearest-Neighbor Coupling: Spin Correlations and Disorder Points // Phys. Rev. B. — 1970. — Т. 1, вып. 11. — DOI:10.1103/PhysRevB.1.4405.
  • Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Chapter 2.1: Regular and uniform tilings // Tilings and Patterns. — New York: W. H. Freeman, 1987. — С. 58-65. — ISBN 0-7167-1193-1.
  • Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure. — New York: Dover Publications, 1979. — ISBN 048623729X.
  • Dale Seymour, Jill Britton. Introduction to Tessellations. — Palo Alto: Dale Seymour Publications, 1989. — С. 50–56. — ISBN 978-0866514613.

Ссылки[править | править код]