Условная вероятность
Усло́вная вероя́тность — вероятность наступления события при условии, что событие произошло. Вероятность события , вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие произошло), мы будем обозначать через . Например, вероятность того, что у какого-то человека будет кашель в произвольный день, . Но если мы знаем или предполагаем, что у человека простуда, тогда у него гораздо больше шансов начать кашлять. Таким образом, условная вероятность кашля у любого человека при условии, что он простужен, выше .
Очевидный частный случай: неплохо иллюстрируется шуткой «Интернет-опрос показал, что 100 % респондентов пользуются интернетом».
Условная вероятность является одним из наиболее фундаментальных и одним из наиболее важных понятий теории вероятностей.
Если , то события и называются независимыми, то есть знание об одном из них не влияет на вероятность другого. Кроме того, в общем случае . Например, если у вас лихорадка денге (событие ), то вероятность получить положительный результат теста на лихорадку (событие ) , то есть . И, наоборот, если вы получили положительный результат теста на лихорадку денге, вероятность того, что она у вас есть всего . В этом случае произошло событие (наличие лихорадки денге) при условии события (тест положительный), то есть . При ошибочном приравнивании двух вероятностей возникают различные заблуждения, такие как ошибка базового процента. Для точного подсчета условной вероятности используют теорему Байеса.
Определение
[править | править код]В соответствии с событием
[править | править код]Определение Колмогорова
[править | править код]Пусть два события и принадлежат - полю вероятностного пространства и . Условная вероятность при условии равняется частному от деления вероятности событий и на вероятность :
Обратите внимание на то, что это определение, а не теоретический результат. Мы просто обозначаем величину как и называем её условной вероятностью при условии .
Условная вероятность как аксиома вероятности
[править | править код]Некоторые авторы, такие как де Финетти, предпочитают вводить условную вероятность как аксиому вероятности:
- .
Условная вероятность как вероятность условного события
[править | править код]Условную вероятность можно обозначить как вероятность условного события . Предполагается, что испытание, лежащее в основе событий и , повторяется. Тогда условная вероятность равна
что соответствует определению условной вероятности Колмогорова. Заметим, что уравнение является теоретическим результатом, а не определением. Определение через условные события можно понять в терминах аксиом Колмогорова и, особенно близко к колмогоровской интерпретации вероятности, в терминах экспериментальных данных. Например, условные события могут повторяться, что приводит к обобщенному понятию условного события Их можно записать как последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин откуда следует усиленный закон больших чисел для условной вероятности:
Теоретико-множественное определение
[править | править код]Если , то, согласно определению, условная вероятность не задана. Однако её можно определить относительно σ-алгебры таких событий (например, возникающих из непрерывной случайной величины).
Например, если и - невырожденные и совместно непрерывные случайные величины с плотностью распределения и имеет положительную меру, то
Случай, когда мера равна нулю, проблематичен. Если , то условную вероятность можно попытаться записать в виде
однако этот подход приводит к парадоксу Бореля — Колмогорова. Общий случай нулевой меры еще более проблематичен, потому что предел, при всех стремящихся к нулю,
зависит от их отношения, когда они стремятся к нулю.
Корректно условную вероятность в общем виде можно задать как условное математическое ожидание от индикаторной функции. При этом, поскольку условное математическое ожидание задано с точностью до почти всюду, условную вероятность от события, имеющего вероятность ноль, можно доопределить произвольным образом. Ситуация меняется, если событие зависит от некоторого параметра. В этом случае, хотя вероятность каждого значения параметра может оказаться ноль, а значит и условная вероятность при каждом таком параметре формально не задана, можно определить зависящую от параметра условную вероятность так, чтобы она была корректна определена почти всюду.
В соответствии со случайной величиной
[править | править код]Пусть — случайная величина, а — событие. Условная вероятность при условии обозначается как случайная величина , которая принимает значение
всякий раз, когда
Это можно записать более формально
Теперь условная вероятность уже является функцией от : например, если функция определяется как
тогда
В частности, задано только почти всюду. В общем случае, корректно ввести через условное математическое ожидание: условное математическое ожидание функции относительно случайной величины . В случае дискретной случайной величины корректно воспользоваться теоретико-множественным определением, поскольку события имеют ненулевую вероятность.
Частичная условная вероятность
[править | править код]Частичная условная вероятность события при условии событий , произошедших с вероятностью не равна
Частичная условная вероятность имеет смысл, если условия проверятся в серии из повторений эксперимента. Такая — ограниченная частичная условная вероятность может быть определена как условное математическое ожидание появления события в серии из проверок, которые соответствуют всем вероятностным спецификациям , то есть:
Исходя из этого, частичную условную вероятность можно записать как
- , где
Примеры
[править | править код]Предположим, что кто-то бросает две честные шестигранные кости, и мы должны предсказать результат.
Пусть - значение, выпавшее на первой кости.
Пусть — значение, выпавшее на второй кости.
Какова вероятность того, что ?
В таблице 1 показано вероятностное пространство из случаев.
Также общее количество исходов равно числу размещений c повторениями
Ясно, что ровно в случаях из ; таким образом,
+ | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Какова вероятность того, что ?
В таблице 2 показано, что ровно для из тех же результатов, таким образом,
+ | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Какова вероятность того, что при условии, что ?
В таблице 3 показано, что при условии, что ровно для из результатов .
Таким образом, условная вероятность Это видно из определения, введенного нами ранее:
здесь — вероятность совместного появления двух зависимых событий, которая вычисляется как
отношение числа благоприятных исходов (количество размещений двух костей с и ) к числу всех возможных исходов .
+ | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Независимость событий
[править | править код]События и называются независимыми, если
Если , то
Аналогично, если , то
Независимые события против взаимоисключающих событий
[править | править код]Как говорилось ранее, независимость событий означает, что
при условии, что вероятность условия не равна нулю. Однако если события взаимоисключающие, то
Фактически, взаимоисключающие события не могут быть независимыми, поскольку знание о том, что одно из событий произошло, говорит о том, что другое не произошло.
Заблуждения
[править | править код]Вероятность события А при условии B равна вероятности события B при условии А
[править | править код]В общем случае нельзя считать, что Связь между и задается формулой Байеса:
То есть только если что равносильно
Предельная вероятность равна условной вероятности
[править | править код]В общем случае нельзя считать, что Эти вероятности связаны формулой полной вероятности:
где события образуют счетное разбиение .
Это заблуждение может возникнуть в результате смещения выбора. Например, в контексте медицинского утверждения, является событием, которое происходит вследствие хронической болезни при обстоятельстве (острое состояние) . Пусть - событие, когда человек обращается за медицинской помощью. Предположим, что в большинстве случаев не вызывает , поэтому является низкой. Предположим также, что медицинское вмешательство требуется только, если произошло из-за . Исходя из опыта пациентов, врач может ошибочно заключить, что высока. Фактической вероятностью, наблюдаемой врачом, является .
Формальное определение
[править | править код]Формально можно задать как новую вероятность на том же вероятностном пространстве, потребовав, чтобы вероятность событий, содержащихся целиком в , изменилась в одно и то же число раз, а события, целиком содержащиеся в не , имеют вероятность .
Пусть - пространство элементарных исходов . Предположим, что произошло событие . Новое значение вероятности будет присвоено . Новое распределение для некоторого постоянного коэффициента равно:
Подставляем 1 и 2 в 3, чтобы выразить α:
Таким образом, новое распределение равно
Теперь для события :
См. также
[править | править код]- Вероятность
- Независимость
- Условное математическое ожидание
- Формула полной вероятности
- Теорема Байеса
- Парадокс Монти Холла
- Задача о двух конвертах
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |