Условная вероятность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Усло́вная вероя́тность — вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло. Вероятность события , вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие  произошло), мы будем обозначать через . Например, вероятность того, что у какого-то человека будет кашель в произвольный день . Но если мы знаем или предполагаем, что у человека простуда, тогда у него гораздо больше шансов начать кашлять. Таким образом, условная вероятность кашля у любого человека при условии, что он простужен, выше .

Условная вероятность является одним из наиболее фундаментальных и одним из наиболее важных понятий теории вероятностей.

Если , то события и называются независимыми, т.е наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Кроме того, в общем случае . Например, если у вас лихорадка дегне (событие ), то вероятность получить положительный результат теста на лихорадку (событие ) , то есть . И, наоборот, если вы получили положительный результат теста на лихорадку дегне, вероятность того, что она у вас есть всего . В этом случае произошло событие (наличие лихорадки дегне) при условии события (тест положительный), т.е. . При ошибочном приравнивании двух вероятностей возникают различные заблуждения, такие как ошибка базового процента. Для точного подсчета условной вероятности используют теорему Байеса.

Определение[править | править код]

В соответствии с событием[править | править код]

Определение Колмогорова[править | править код]

Пусть два события и принадлежат - полю вероятностного пространства и . Условная вероятность при условии равняется частному от деления вероятности событий и на вероятность :

Обратите внимание на то, что это определение, а не теоретический результат. Мы просто обозначаем величину как и называем её условной вероятностью при условии .

Условная вероятность как аксиома вероятности[править | править код]

Некоторые авторы, такие как де Финетти, предпочитают вводить условную вероятность как аксиому вероятности:

.

Условная вероятность как вероятность условного события[править | править код]

Круговая диаграмма Венна для условной вероятности

Условную вероятность можно обозначить как вероятность условного события . Предполагается, что испытание, лежащее в основе событий и , повторяется. Тогда условная вероятность равна

,

что соответствует определению условной вероятности Колмогорова. Заметим, что уравнение является теоретическим результатом, а не определением. Определение через условные события можно понять в терминах аксиом Колмогорова и, особенно близко к колмогоровской интерпретации вероятности, в терминах экспериментальных данных. Например, условные события могут повторяться, что приводит к обобщенному понятию условного события Их можно записать как последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин откуда следует усиленный закон больших чисел для условной вероятности:

Теоретико-множественное определение[править | править код]

Если , то, согласно определению, условная вероятность не задана. Однако её можно определить относительно σ-алгебры таких событий (например, возникающих из непрерывной случайной величины).

Например, если и - невырожденные и совместно непрерывные случайные величины с плотностью распределения и имеет положительную меру, то

Случай, когда мера равна нулю, проблематичен. Если , то условную вероятность можно попытаться записать в виде

однако этот подход приводит к парадоксу Бореля-Колмогорова. Общий случай нулевой меры еще более проблематичен, потому что предел, при всех стремящихся к нулю,

зависит от их отношения, когда они стремятся к нулю.

Корректно условную вероятность в общем виде можно задать как условное математическое ожидание от индикаторной функции. При этом, поскольку условное математическое ожидание задано с точностью до почти всюду, условную вероятность от события, имеющего вероятность ноль, можно доопределить произвольным образом. Ситуация меняется, если событие зависит от некоторого параметра. В этом случае, хотя вероятность каждого значения параметра может оказаться ноль, а значит и  условная вероятность при каждом таком параметре формально не задана, можно определить зависящую от параметра условную вероятность так, чтобы она была корректна определена почти всюду.

В соответствии со случайной величиной[править | править код]

Пусть - случайная величина, а - событие. Условная вероятность при условии обозначается как случайная величина , которая принимает значение

всякий раз, когда

Это можно записать более формально

Теперь условная вероятность уже является функцией от : например, если функция определяется как

тогда

В частности, задано только почти всюду. В общем случае, корректно ввести через условное математическое ожидание: условное математическое ожидание функции относительно случайной величины . В случае дискретной случайной величины корректно воспользоваться теоретико-множественным определением, поскольку события имеют ненулевую вероятность.

Частичная условная вероятность[править | править код]

Частичная условная вероятность события при условии событий , произошедших с вероятностью не равна

Частичная условная вероятность имеет смысл, если условия проверятся в серии из повторений эксперимента. Такая - ограниченная частичная условная вероятность может быть определена как условное математическое ожидание появления события в серии из проверок, которые соответствуют всем вероятностным спецификациям , то есть:

Исходя из этого, частичную условную вероятность можно записать как

, где

Примеры[править | править код]

Предположим, что кто-то тайно переворачивает две честные шестигранные кости, и мы должны предсказать результат.

Пусть - значение, выпавшее на первой кости.

Пусть - значение, выпавшее на второй кости.

Какова вероятность того, что ?

В таблице 1 показано вероятностное пространство из случаев.

Ясно, что ровно в случаях из ; таким образом,

Таблица 1
+
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Какова вероятность того, что ?

В таблице 2 показано, что ровно для из тех же результатов, таким образом,

Таблица 2
+
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Какова вероятность того, что при условии, что ?

В таблице 3 показано, что при условии, что ровно для из результатов .

Таким образом, условная вероятность Это видно из определения, введенного нами ранее:

Таблица 3
+
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Независимость событий[править | править код]

События и называются независимыми, если

Если , то

Аналогично, если , то

Независимые события против взаимоисключающих событий[править | править код]

Как говорилось ранее, независимость событий означает, что

при условии, что вероятность условия не равна нулю. Однако если события взаимоисключающие, то

Фактически, взаимоисключающие события не могут быть независимыми, поскольку знание о том, что одно из событий произошло, говорит о том, что другое не произошло.

Заблуждения[править | править код]

Вероятность события А при условии B равна вероятности события B при условии А[править | править код]

В общем случае нельзя считать, что Связь между и задается формулой Байеса:

То есть только если что равносильно

Предельная вероятность равна условной вероятности[править | править код]

В общем случае нельзя считать, что Эти вероятности связаны формулой полной вероятности:

где события образуют счетное разбиение .

Это заблуждение может возникнуть в результате смещения выбора. Например, в контексте медицинского утверждения, является событием, которое происходит вследствие хронической болезни при обстоятельстве (острое состояние) . Пусть - событие, когда человек обращается за медицинской помощью. Предположим, что в большинстве случаев не вызывает , поэтому является низкой. Предположим также, что медицинское вмешательство требуется только, если произошло из-за . Исходя из опыта пациентов, врач может ошибочно заключить, что высока. Фактической вероятностью, наблюдаемой врачом, является .

Формальное определение[править | править код]

Формально можно задать как новую вероятность на том же вероятностном пространстве, потребовав, чтобы вероятность событий, содержащихся целиком в , изменилась одно и то же число раз, а  события, целиком содержащиеся в не , имеют вероятность .

Пусть - пространство элементарных исходов . Предположим, что произошло событие . Новое значение вероятности будет присвоено . Новое распределение для некоторого постоянного коэффициента равно:

Подставляем 1 и 2 в 3, чтобы выразить α:

Таким образом, новое распределение равно

Теперь для события :

См. также[править | править код]