Условное математическое ожидание

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.

Определения[править | править вики-текст]

Будем считать, что дано вероятностное пространство . Пусть  — интегрируемая случайная величина, то есть . Пусть также  — σ-подалгебра σ-алгебры .

УМО относительно σ-алгебры[править | править вики-текст]

Случайная величина называется условным математическим ожиданием относительно σ-алгебры , если

  • измерима относительно .
  • ,

где  — индикатор события . Условное математическое ожидание обозначается .

Пример. Пусть Положим . Тогда  — σ-алгебра, и . Пусть случайная величина имеет вид

.

Тогда

УМО относительно семейства событий[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольное семейство событий. Тогда условным математическим ожиданием относительно называется

,

где  — минимальная сигма-алгебра, содержащая .

Пример. Пусть Пусть также . Тогда . Пусть случайная величина имеет вид

.

Тогда

УМО относительно случайной величины[править | править вики-текст]

Пусть другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием относительно называется

,

где  — σ-алгебра, порождённая случайной величиной .

Другое определение УМО относительно :

Такое определение конструктивно описывает алгоритм нахождения УМО:

  • найти математическое ожидание случайной величины , принимая за константу ;
  • Затем в полученном выражении обратно заменить на случайную величину .

Пример:

Условная вероятность[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольное событие, и  — его индикатор. Тогда условной вероятностью относительно называется

.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Условное математическое ожидание — это случайная величина, а не число.
  • Условное математическое ожидание определено с точностью до событий вероятности нуль. Таким образом, если и -почти всюду, то . Отождествив случайные величины, различающиеся лишь на событиях вероятности нуль, получаем единственность условного математического ожидания.
  • Взяв , получаем по определению:
,

и в частности справедлива формула полной вероятности:

.
  • Пусть σ-алгебра порождена разбиением . Тогда
.

В частности формула полной вероятности принимает классический вид:

,

а следовательно

.

Основные свойства[править | править вики-текст]

  • Если , то существует борелевская функция , такая что
.

Условное математическое ожидание относительно события по определению равно

.
  • Если п.н., то п.н.
  • Если независима от , то
п.н.

В частности, если независимые случайные величины, то

п.н.
  • Если  — две σ-алгебры, такие что , то
.
  • Если  — -измерима, и  — случайная величина, такая что , то
.
  • «Математическое ожидание убирает условие». Это правило верно для УМО относительно случайной величины (УМО в таком случае будет случайной величиной) и для условной вероятности относительно случайной величины
.

Дополнительные свойства[править | править вики-текст]

УМО для дискретных величин[править | править вики-текст]

Пусть  — дискретная случайная величина, чьё распределение задаётся функцией вероятности . Тогда система событий является разбиением , и

,

а

,

где означает математическое ожидание, взятое относительно условной вероятности .

Если случайная величина также дискретна, то

,

где  — условная функция вероятности случайной величины относительно .

УМО для абсолютно непрерывных случайных величин[править | править вики-текст]

Пусть  — случайные величины, такие что вектор абсолютно непрерывен, и его распределение задаётся плотностью вероятности . Введём условную плотность , положив по определению

,

где  — плотность вероятности случайной величины . Тогда

,

где функция имеет вид

.

В частности,

.

УМО в L2[править | править вики-текст]

Рассмотрим пространство случайных величин с конечным вторым моментом . В нём определены скалярное произведение

,

и порождённая им норма

.

Множество всех случайных величин с конечным вторым моментом и измеримых относительно , где , является подпространством . Тогда оператор , задаваемый равенством

,

является оператором ортогонального проектирования на . В частности:

  • Условное математическое ожидание  — это наилучшее средне-квадратичное приближение -измеримыми случайными величинами:
.
  • Условное математическое ожидание сохраняет скалярное произведение:
.
.

См. также[править | править вики-текст]