Устойчивость (динамические системы)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория в фазовом пространстве точки состояния динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений с условиями близкими к начальным «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путём замены неизвестной функции.

Постановка задачи устойчивости динамических систем[править | править вики-текст]

Пусть — область пространства , содержащая начало координат, , где . Рассмотрим систему (1) вида:

((1))

При любых существует единственное решение x(t, t0, x0) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям x(t0, t0, x0) = x0. Будем предполагать, что решение x(t, t0, x0) определено на интервале , причём .

Устойчивость по Ляпунову[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и существует , зависящее только от ε и t0 и не зависящее от t, такое, что для всякого x0, для которого , решение x системы с начальными условиями x(t0) = x0 продолжается на всю полуось t > t0 и удовлетворяет неравенству .

Символически это записывается так:

Равномерная устойчивость по Ляпунову[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε:

Неустойчивость по Ляпунову[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:

Асимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие для всякого x с начальным условием x0, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.

Эквиасимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.

Равномерная асимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.

Асимптотическая устойчивость в целом[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.

Равномерная асимптотическая устойчивость в целом[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — ИЛ, 1954.
  • Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехиздат, 1955.
  • Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
  • Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.
  • Демидович Б. П. Глава II, §1, Основные понятия теории устойчивости // Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
  • Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Глава I, Непрерывные и дискретные детерминированные системы // Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X..
  • Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: РХД, 2000. — 176 с.