Устойчивость (динамические системы)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Устойчивость — свойство решения дифференциального уравнения притягивать к себе другие решения при условии достаточной близости их начальных данных. В зависимости от характера притяжения выделяются различные виды устойчивости. Устойчивость является предметом изучения таких дисциплин, как теория устойчивости и теория динамических систем.

Определения[править | править код]

Пусть область фазового пространства , , где . Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида:

(1)

где , функция определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица локально по в области .

При этих условиях для любых существует единственное решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям: [1]. Выделим некоторое решение , определённое на интервале , таком, что и будем называть его невозмущённым решением.

Устойчивость по Ляпунову[править | править код]

Невозмущённое решение системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и существует , зависящее только от и и не зависящее от , такое, что для всякого , для которого , решение системы (1) с начальными условиями продолжается на всю полуось и для любого удовлетворяет неравенству [1].

Символически это записывается так:

Невозмущённое решение системы (1) называется неустойчивым, если оно не является устойчивым по Ляпунову, то есть

Равномерная устойчивость[править | править код]

Невозмущённое решение системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если из предыдущего определения зависит только от :

Асимптотическая устойчивость[править | править код]

Невозмущённое решение системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и является притягивающим, то есть выполняется условие для любого решения с начальными данными , для которых выполняется неравенство при некотором .

Существуют определённые разновидности асимптотической устойчивости[2]. Невозмущённое решение системы (1) называется:

  • эквиасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее ( не зависит от ).
  • равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее ( не зависит от и ).
  • асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее (отсутствует ограничение на ).
  • равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно и глобальнопритягивающее.

Замечание[править | править код]

В качестве невозмущённого решения системы можно рассматривать тривиальное решение , что делает условия устойчивости более простыми. Для этого необходимо ввести сдвигающую замену и рассматривать систему

где

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

См. также[править | править код]