Фаза колебаний

Графики двух гармонических функций (колебаний) одинаковой частоты. Одно из колебаний задержано (сдвинуто) относительно другого на фазовый сдвиг $\varphi$. При этом задержка во времени $t={\frac {\varphi }{2\pi }}\cdot T$, где $T$ — период колебаний

Фа́за колеба́ний полная или мгновенная — аргумент периодической функции, описывающей колебательный или волновой процесс.

Фаза колебаний начальная — значение аргумента периодической функции в начальный момент времени, то есть при $t=0$ (для колебательного процесса), а также в начальный момент времени в начале системы координат, то есть при $t=0$ в точке с координатами $(x,\ y,\ z)=0$ (для волнового процесса).

Фаза колебания (в электротехнике) — аргумент синусоидальной функции (напряжения, тока), отсчитываемый от точки перехода минусового значения через нуль к положительному значению и обратно.

Определения

Фаза колебания — величина, позволяющая определить состояние системы, описываемой периодической функцией в данный момент времени.

Как правило, о фазе говорят применительно к гармоническим колебаниям или монохроматическим волнам.

Величину $\Phi$, входящую в аргумент функций косинуса $\cos \Phi$ или синуса $\sin \Phi$, называют полной фазой колебаний. Изменение полной фазы во времени описывается выражением:

$\Phi =\omega t+\varphi _{0}$,

величину $\varphi _{0}$, которую имеет фаза при $t=0$, называют начальной фазой колебания.

При описании некоторой величины, испытывающей гармонические колебания, используется, например, одно из выражений:

$A\cos(\omega t+\varphi _{0})$,

$A\sin(\omega t+\varphi _{0})$,

$Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})}$,

где $\omega$ — угловая частота колебания;

$A$ — амплитуда колебания.

Аналогично, при описании гармонической волны в одномерном случае, например, используются выражения вида:

$A\cos(kx-\omega t+\varphi _{0})$,

$A\sin(kx-\omega t+\varphi _{0})$,

$Ae^{i(kx-\omega t+\varphi _{0})}$,

где $A$ — амплитуда волны;

$k$ — волновое число;

$x$ — координата.

для волны в пространстве любой размерности (например, в трёхмерном пространстве):

$A\cos({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0})$,

$A\sin({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0})$,

$Ae^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0})}$,

где $k$ — волновой вектор.

Фаза колебаний (полная) в этих выражениях — аргумент функции, то есть выражение, записанное в скобках; фаза колебаний начальная — величина $\varphi _{0}$, являющаяся одним из слагаемых полной фазы. Говоря о полной фазе, слово полная обычно опускают.

Колебания с одинаковой частотой $\omega$ могут иметь различную начальную фазу, например два процесса, описываемые выражениями:

$P_{1}=A_{1}\cos(\omega t+\varphi _{1})$,

$P_{2}=A_{2}\cos(\omega t+\varphi _{2})$,

имеют разные начальные фазы $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$, при этом величину $\varphi _{2}-\varphi _{1}$ называют фазовым сдвигом между двумя колебаниями. Обычно при описании двух колебаний с разными фазами по умолчанию полагают, что начальная фаза одного из колебаний равна нулю, при этом начальная фаза второго колебания полагается равной разности фаз.

Так как $\omega =2\pi /T$, то $\varphi =\omega t=2\pi t/T$, где отношение $t/T$ указывает, сколько периодов прошло от момента времени $t_{0}$. Любому значению времени $t$, выраженному в числе периодов $T$, соответствует значение фазы $\varphi$, выраженное в радианах. Так, по прошествии времени $t=T/4$ (четверти периода) фаза будет $\varphi =2\pi /4=\pi /2$, по прошествии половины периода — $\varphi =2\pi /2=\pi$, по прошествии целого периода — $\varphi =2\pi$, и т. д.

Поскольку функции синус и косинус совпадают друг с другом при сдвиге аргумента (то есть фазы) на $\pi /2$, то во избежание путаницы лучше пользоваться для определения начальной фазы только одной из этих двух функций, а не той и другой одновременно. По обычному соглашению фазой считают аргумент косинуса, а не синуса.

То есть, для колебательного процесса (см. выше) фаза (полная):

$\varphi =\omega t+\varphi _{0}$,

для волны в одномерном пространстве:

$\varphi =kx-\omega t+\varphi _{0}$,

для волны в трёхмерном пространстве или пространстве любой другой размерности:

$\varphi ={\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0}$,

где $\omega$ — угловая частота (величина, показывающая, на сколько радиан или градусов изменится фаза за 1 с; чем величина выше, тем быстрее растёт фаза с течением времени);

$t$ — время;

$\varphi _{0}$ — начальная фаза (то есть фаза при $t=0$);

$k$ — волновое число;

$x$ — координата точки наблюдения волнового процесса в одномерном пространстве;

${\vec {k}}$ — волновой вектор;

${\vec {r}}$ — радиус-вектор точки в пространстве (набор координат, например декартовых).

В приведённых выше выражениях фаза имеет размерность угловых единиц (радианы, градусы). Фазу колебательного процесса по аналогии с механическим вращательным также выражают в циклах, то есть долях периода повторяющегося процесса:

1 цикл = $2\pi$ радиан = 360 угловых градусов.

В аналитических выражениях (в формулах) преимущественно (и по умолчанию) используется представление фазы в радианах, представление в градусах также встречается достаточно часто (по-видимому, как предельно явное и не приводящее к путанице, поскольку знак градуса не принято никогда опускать ни в устной речи, ни в записях). Указание фазы в циклах или периодах (за исключением словесных формулировок) в технике сравнительно редко.

Иногда (в квазиклассическом приближении, где используются квазимонохроматические волны, то есть близкие к монохроматическим, но не строго монохроматические, а также в формализме интеграла по траекториям, где волны могут быть и далёкими от монохроматических, хотя всё же подобны монохроматическим) рассматривается фаза, являющаяся нелинейной функцией времени $t$ и пространственных координат ${\vec {r}}$, в принципе — произвольная функция:

$\varphi =\varphi ({\vec {r}},t)$.

Связанные термины

Рассматривая два колебательных процесса одинаковой частоты, говорят о постоянной разности полных фаз (о сдвиге фаз) этих процессов. В общем случае сдвиг фаз может меняться во времени, например из-за угловой модуляции одного или обоих процессов.

Если два колебательных процесса происходят одновременно (например, колеблющиеся величины достигают максимума в один и тот же момент времени), то говорят, что они находятся в фазе (колебания синфазны). Если моменты максимума одного колебания совпадают с моментами минимума другого колебания, то говорят, что колебания находятся в противофазе (колебания противофазны). Если модуль разности фаз равен 90°, то говорят, что колебания находятся в квадратуре или что одно из этих колебаний — квадратурное по отношению к другому колебанию (опорному, «синфазному», то есть служащему для условного определения начальной фазы).

Если амплитуды двух противофазных монохроматических колебательных процессов одинаковы, то при сложении таких колебаний (при их интерференции) в линейной среде происходит взаимное уничтожение колебательных процессов.

Действие

Действие — одна из наиболее фундаментальных физических величин, на которой построено современное описание практически любой достаточно фундаментальной физической системы — по своему физическому смыслу является фазой волновой функции.

См. также

• Волновой фронт

Литература

• Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний: учебник для вузов (рус.). — 5-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2024. — 440 с. — ISBN 978-5-507-47579-7.