Факторизация графа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
1-факторизация графа Дезарга — каждый класс цветов является 1-фактором.
Граф Петерсена можно разбить на 1-фактор (красный) и 2-фактор (синий). Однако, граф не является 1-факторизуем.

Фактор графа G — это остовный подграф, то есть подграф, имеющий те же вершины, что и граф G. k-фактор графа — это остовный k-регулярный подграф, а k-факторизация разбивает рёбра графа на непересекающиеся k-факторы. Говорят, что граф G k-факторизуем, если он позволяет k-разбиение. В частности, множество рёбер 1-фактора — это совершенное паросочетание, а 1-разложение k-регулярного графа — это рёберная раскраска k цветами. 2-фактор — это набор циклов, которые покрывают все вершины графа.

1-факторизация[править | править код]

Если граф 1-факторизуем (то есть имеет 1-факторизацию), то он должен быть регулярным графом. Однако не все регулярные графы являются 1-факторизуемыми. k-регулярный граф является 1-факторизуемым, если его хроматический индекс равен k. Примеры таких графов:

  • Любой регулярный двудольный граф[1][2]. С помощью теоремы Холла о свадьбах можно показать, что k-правильный двудольный граф содержит совершенное сочетание. Можно тогда удалить совершенное паросочетание и (k − 1)-регулярный двудольный граф и продолжить тот же процесс рекурсивно.
  • Любой полный граф с чётным числом вершин (см. ниже)[3].

Однако имеются k-регулярные графы, хроматический индекс которых равен k + 1, и эти графы не 1-факторизуемы. Примеры таких графов:

Полные графы[править | править код]

1-факторизация K8, в котором любой 1-фактор состоит из ребра, соединяющего центр с вершиной семиугольника, и всех перпендикулярных этому ребру рёбер

1-факторизация полного графа соответствует разбиению на пары в круговых турнирах. 1-факторизация полных графов является специальным случаем теоремы Бараньяи относительно 1-факторизации полных гиперграфов.

Один из способов построения 1-факторизации полного графа помещает все вершины, кроме одной, на окружности, образуя правильный многоугольник, оставшаяся же вершина помещается в центр окружности. При этом расположении вершин процесс построения 1-фактора заключается в выборе ребра e, соединяющего центральную вершину с одной из вершин на окружности, затем выбираются все рёбра, перпендикулярные ребру e. 1-факторы, построенные таким образом, образуют 1-факторизацию графа.

Число различных 1-факторизаций равно 1, 1, 6, 6240, 1225566720, 252282619805368320, 98758655816833727741338583040, … (последовательность A000438 в OEIS).

Гипотеза об 1-факторизации[править | править код]

Пусть G — k-регулярный граф с 2n вершинами. Если k достаточно велико, известно, что G должен быть 1-факторизуем:

  • Если , то G является полным графом , а потому 1-факторизуем (см. выше).
  • Если , то G можно получить путём удаления совершенного паросочетания из . Снова G является 1-факторизуемым.
  • Четвинд и Хилтон[4] показали, что при граф G 1-факторизуем.

Гипотеза об 1-факторизации[5] является давно выдвинутой гипотезой, утверждающей, что значение достаточно велико. Точная формулировка:

  • Если n нечётно и , то G 1-факторизуем. Если n чётно и , то G 1-факторизуем.

Гипотеза сильного заполнения[en] заключает в себе гипотезу об 1-факторизации.

Совершенная 1-факторизация[править | править код]

Совершенная пара 1-факторизаций — это пара 1-факторов, объединение которых даёт гамильтонов цикл.

Совершенная 1-факторизация (P1F) графа — это 1-факторизация, имеющая свойство, что любая пара 1-факторов является совершенной парой. Совершенная 1-факторизация не следует путать с совершенным паросочетанием (которое также называют 1-фактором).

В 1964 году Антон Котциг высказал предположение, что любой полный граф , где , имеет совершенную 1-факторизацию. Известно, что следующие графы имеют совершенные 1-факторизации[6]:

  • Бесконечное семейство полных графов , где p — нечётное простое (Андерсон и Накамура, независимо),
  • Бесконечное семейство полных графов , где p — нечётное простое
  • спорадически другие графы, включая , где . Есть и более свежие результаты здесь.

Если полный граф имеет совершенную 1-факторизацию, то полный двудольный граф также имеет совершенную 1-факторизацию[7].

2-факторизация[править | править код]

Если граф 2-факторизуем, то он должен быть 2k-регулярным для некоторого целого k. Юлиус Петерсен показал в 1891, что это необходимое условие является также достаточным — любой 2k-регулярный граф является 2-факторизуемым[8].

Если связный граф является 2k-регулярным и имеет чётное число рёбер, он также может быть k-факторизуем путём выбора двух факторов, являющихся чередующимися рёбрами эйлерова цикла[9]. Это относится только к связным графам, несвязные контрпримеры содержат несвязное объединение нечётных циклов или копий графа K2k+1.

Примечания[править | править код]

  1. Харари, 2003, с. 107, Теорема 9.2.
  2. Дистель, 2002, с. 48, Следствие 2.1.3.
  3. Харари, 2003, с. 85, Теорема 9.1.
  4. Chetwynd, Hilton, 1985.
  5. Chetwynd, Hilton, 1985;Niessen, 1994; Perkovic, Reed, 1997; West, 1985,
  6. Wallis, 1997, с. 125.
  7. Bryant, Maenhaut, Wanless, 2002, с. 328–342.
  8. Petersen, 1891, § 9, стр. 200; Харари, 2003, стр. 113, Теорема 9.9; См. доказательство в книге Дистель, 2002, стр. 49, Следствие 2.1.5
  9. Petersen, 1891, с. 198 §6.

Литература[править | править код]

  • John Adrian Bondy, U. S. R. Murty. Section 5.1: "Matchings". // Graph Theory with Applications. — North-Holland, 1976. — ISBN 0-444-19451-7. Архивная копия от 16 июня 2012 на Wayback Machine
  • A. G. Chetwynd, A. J. W. Hilton. Regular graphs of high degree are 1-factorizable // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1985. — Т. 50, вып. 2. — С. 193—206. — doi:10.1112/plms/s3-50.2.193..
  • Рейнгард Дистель. Глава 2: Паросочетания // Теория графов. — Новосибирск: Издательство Института Математики, 2002. — ISBN 5-86134-101-X, УДК 519.17, ББК 22.17.
  • Ф. Харари. Глава 9 Факторизация // Теория графов. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — ISBN 5-354-00301-6.

Литература для дальнейшего чтения[править | править код]