Факторион

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Факторион — такое натуральное число, которое равно сумме факториалов своих цифр.

Полный список факторионов[править | править исходный текст]

  • 1=1!
  • 2=2!
  • 145=1!+4!+5!
  • 40585=4!+0!+5!+8!+5!

Верхняя граница[править | править исходный текст]

Определив верхнюю границу для факторионов, несложно (например, полным перебором) показать, что существует ровно 4 таких числа.

Любое n-значное число не меньше \;10^{n-1}. Однако при этом сумма факториалов его цифр не больше 9!\cdot n, где \;9!=362880. Так как первое число возрастает быстрее второго (первое зависит от n экспоненциально, а второе — линейно), а уже 10^{8-1}=10000000>9!\cdot 8=2903040. Следовательно все факторионы состоят не более, чем из 7 цифр. Даже точнее — они меньше 7\cdot 9!=2540160.

Аналогичные рассуждения помогают доказать конечность числа многих обобщенных факторионов (см. ниже).

Обобщения[править | править исходный текст]

В других системах счисления[править | править исходный текст]

Таблица факторионов в системах счисления вплоть до шестнадцатеричной:

Основание Максимальное кол-во цифр Факторионы
2 2 1, 10
3 2 1, 2
4 3 1, 2, 13
5 3 1, 2, 144
6 4 1, 2, 41, 42
7 5 1, 2
8 5 1, 2
9 6 1, 2, 62558
10 7 1, 2, 145, 40585
11 8 1, 2, 24, 44, 28453
12 8 1, 2
13 9 1, 2, 83790C5B
14 10 1, 2, 8B0DD409C
15 11 1, 2, 661, 662
16 11 1, 2, 260F3B66BF9

k-факторионы[править | править исходный текст]

k-факторион — число, равное сумме факториалов своих цифр, умноженной на k. Тогда обычные — 1-факторионы.

Полные списки k-факторионов:

  1. k=2: 817926
  2. k=3: 138267, 1103790
  3. k=4: 12, 32, 104, 23076
  4. k=5: 10

Обобщения Пиковера[править | править исходный текст]

В своей книге «Keys to Infinity» Clifford A. Pickover (1995) предложил следующие обобщения:

  1. Факторион первого рода — равен произведению факториалов своих цифр.
  2. Факторион второго рода — при сложении факториалов можно разбивать не только на цифры, но и на подчисла.

Оба определения порождают гораздо бо́льшие числа, чем обычное определение. Хотя факторионы первого рода в десятичной системе только вырожденные — 1 и 2, найдено несколько факторионов второго рода (жирным выделены единственные группировки цифр):

  • 2 432 902 008 177 819 519
  • 51 090 942 171 710 544 079 и 51 090 942 171 710 982 398
  • 403 291 461 126 605 635 584 809 043 и 403 291 461 126 605 635 584 814 796

Для обобщений обоих типов неизвестно, конечно ли число соответствующих факторионов.

Литература[править | править исходный текст]

  • Gardner, M. «Factorial Oddities.» Ch. 4 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 and 64, 1978.
  • Madachy, J. S. Madachy’s Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 167, 1979.
  • Pickover, C. A. «The Loneliness of the Factorions.» Ch. 22 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 169—171 and 319—320, 1995.

Ссылки[править | править исходный текст]