Факторпространство по подпространству

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Факторпространство по подпространству в линейной алгебре — важный частный случай факторпространств.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — векторное пространство, а  — его подпространство. Определим отношение эквивалентности как

Тогда называют факторпространством по и обозначают .

Факторотображение[править | править вики-текст]

Отображение , сопоставляющее каждому элементу из класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.

Факторотображение даёт возможность определить на векторную структуру, задав операции следующим образом:

Факторотображение на таком пространстве линейно.

Свойства факторотображения:

  1. , то есть  — эпиморфизм;
  2. , что эквивалентно .

Связанные определения[править | править вики-текст]

Понятие факторпространства по подпространству позволяет определить:

  • кообраз линейного отображения ;
  • коядро линейного отображения , при условии что .
  • коразмерность ;
  • Фактор-полунорма в факторпространстве, порождённая полунормой .

Сопутствующие теоремы[править | править вики-текст]

  • Существование снижения на кообраз:
  •  — хаусдорфово .
Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяет[уточнить] определить на нём норму, а по норме и метрику.
  • Признак полноты  — полны  — полно.
  •  — гиперплоскость .
  • Неравенства для подчинённой фактор-полунормы:

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 200. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..