Факторсистема

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Факторсистема в универсальной алгебре — объект, получаемый разбиением алгебраической системы на классы смежности отношением эквивалентности, стабильным по отношению к её основным операциям, и, соответственно, являющийся также алгебраической системой. Факторалгебра — факторсистема, получаемая над алгеброй (системой без отношений), фактормодель — факторсистема над моделью (системой без операций).

Факторсистема является обобщением алгебраических факторизаций: факторгруппа, факторкольцо, факторалгебра являются факторсистемами над группой, кольцом, алгеброй над полем соответственно.

Определение[править | править вики-текст]

Для алгебраической системы , , и бинарного отношения , являющегося конгруэнцией над , то есть, стабильного относительно каждой из основных операций  — из вхождения в отношение некоторого набора следует выполнение  — факторсистема строится как алгебраическая система , с носителем  — фактормножеством над относительно конгруэнции , следующим набором операций:

и следующим набором отношений:

,

где означает переход к классам смежности относительно конгруэнции :

для операций и
для отношений

(класс смежности  — множество всех элементов, эквивалентных относительно : ).

Таким образом, факторсистема является однотипной с системой . В определении принципиально, что стабильность факторизующего отношения требуется только для основных операций, но не для отношений системы: для операций стабильность необходима для однозначного перехода к классам смежности, тогда как переход к классам смежности для отношений вводится определением (существованием в в каждом из классов смежности хотя бы по одному элементу, входящему в отношение).

Свойства[править | править вики-текст]

Естественное отображение , ставящее в соответствие элементу его класс смежности относительно конгруэнции: , является гомоморфизмом из в факторсистему [1][2].

Теорема о гомоморфзиме утверждает что для любого гомоморфизма и его ядерной конгурэнции естественное отображение (то есть ) является гомоморфизмом. Если гомоморфизм является сильным, то есть для каждого предиката из и любого набора элементов из утверждения вытекает существование таких прообразов , что , то является изоморфизмом. Таким образом, совокупность всех факторсистем заданной системы с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью всех её сильно гомоморфных образов[3]. Для алгебр, не обладающих отношениями в сигнатуре, любой гомоморфизм является сильным, то есть набор факторалгебр заданной алгебры с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью её гомоморфных образов.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Мальцев, 1970, с. 61-62.
  2. Гретцер, 2008, Lemma 2, p. 36.
  3. Мальцев, 170, Теорема 1, с. 63—64.

Литература[править | править вики-текст]