Статистика Ферми — Дирака

Статистика Фе́рми — Дира́ка — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули: одно квантовое состояние не может быть занято более чем одной частицей). Определяет вероятность, с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым фермионом.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц $n_{i}$ с энергией $\varepsilon _{i}$ есть

$n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)+1}}$,

где $g_{i}$ — кратность вырождения (число состояний частицы с энергией $\varepsilon _{i}$), $\mu$ — химический потенциал (при нуле температуры равен энергии Ферми $E_{F}$), $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура.

В идеальном ферми-газе при низких температурах $\mu =E_{F}$. В этом случае, если $g_{i}=1$, функция числа (доли) заполнения уровней частицами называется функцией Ферми:

$F(\varepsilon ,T)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon -E_{F}}{kT}}\right)+1}}.$

Указанная статистика предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл. В 1927 статистика была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

Свойства статистики Ферми — Дирака

Функция Ферми — Дирака. С ростом температуры ступенька размывается, а заполнение состояний с энергиями выше $\mu$ растёт.

Функция Ферми — Дирака обладает следующими свойствами:

• безразмерна;
• принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до 1;
• убывает с энергией, резко спадая вблизи энергии, равной химическому потенциалу;
• при абсолютном нуле имеет вид ступеньки со скачком от 1 до 0 при $\varepsilon =\mu$, а при подъёме температуры скачок заменяется всё более плавным спадом;
• при $\varepsilon =\mu$ всегда $F=1/2$ независимо от температуры.

Математический и физический смысл

Функцией Ферми — Дирака $F(\varepsilon ,T)$ задаются числа заполнения (англ. occupancy factor) квантовых состояний. Хотя она нередко называется «распределением», с точки зрения аппарата теории вероятностей она не является ни функцией распределения, ни плотностью распределения. В отношении этой функции, скажем, не может ставиться вопрос о нормировке.

Давая информацию о проценте заполненности состояний, функция $F(\varepsilon ,T)$ ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$ и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются «плотностью состояний» $\rho (\varepsilon )$ (Дж^-1 или Дж^-1м^-3). Функция

$f(\varepsilon )=\left(\int \rho (\varepsilon )F(\varepsilon )d\varepsilon \right)^{-1}\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )$

является плотностью распределения (Дж^-1) частиц по энергии и нормирована. Для краткости, аргумент $T$ опущен. В наиболее традиционных случаях $\rho (\varepsilon )\sim {\sqrt {\varepsilon }}$.

Классический (максвелловский) предел

При высоких температурах и/или низких концентрациях частиц статистика Ферми — Дирака (равно как и статистика Бозе — Эйнштейна) переходят в статистику Максвелла — Больцмана. А именно, в таких условиях

$F(\varepsilon )=\exp \left({\frac {E_{F}-\varepsilon }{kT}}\right)$.

После подстановки плотности состояний $\rho (\varepsilon )$ и интегрирования по $\varepsilon$ от 0 до $+\infty$ выражение для $f$ примет вид

$f(\varepsilon )={\frac {2\pi {\sqrt {\varepsilon }}}{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)$.

Это и есть плотность распределения Максвелла (по энергиям).

Распределением Максвелла (особенно хорошо работающим применительно к газам) описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурации «частица $A$ в состоянии 1 и частица $B$ в состоянии 2» и «частица $B$ в состоянии 1 и частица $A$ в состоянии 2» считаются разными.

Применение статистики Ферми — Дирака

Характеристика сферы применения

Статистики Ферми — Дирака, а также Бозе — Эйнштейна применяются в тех случаях, когда необходимо учитывать квантовые эффекты и «неразличимость» частиц. В парадигме различимости оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы.

Статистика Ферми — Дирака относится к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), а статистика Бозе — Эйнштейна — к бозонам. Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц $N/V\geqslant n_{q}$ (где $N$ — число частиц, $V$ — объём, $n_{q}$ — квантовая концентрация). Квантовой называется концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.

Конкретные примеры

Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания поведения ансамбля электронов в твёрдых телах; на ней базируются многие положения теории полупроводников и электроники в целом. Например, концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитывается как

$n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )\,d\varepsilon ,\quad p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}\rho (\varepsilon )(1-F(\varepsilon ))\,d\varepsilon$,

где $E_{c}$ ($E_{v}$) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). Формула для туннельного тока между двумя областями, разделёнными квантовым потенциальным барьером, имеет общий вид

$j={\mbox{const}}\cdot \int \Theta (\varepsilon )\left[F_{L}(\varepsilon )-F_{R}(\varepsilon )\right]\,d\varepsilon$,

где $\Theta$ — коэффициент прозрачности барьера, а $F_{L}$, $F_{R}$ — функции Ферми — Дирака в областях слева и справа от барьера.

Вывод распределения Ферми — Дирака

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Пусть энергия такой частицы равна $\varepsilon$. Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

$Z=\sum _{s}e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},$

где $E(s)$ — энергия состояния $s$, $N(s)$ — число частиц, находящихся в состоянии $s$, $\mu$ — химический потенциал, $s$ — индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте система имеет фиксированные состояния. Если какое либо состояние занято $n$ частицами, то энергия системы — $n\cdot \varepsilon$. Если состояние свободно, энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся $s_{1}$ и $s_{2}$ соответственно. Видно, что $E(s_{1})=\varepsilon$, $N(s_{1})=1$, и $E(s_{2})=0$, $N(s_{2})=0$. Поэтому функция распределения принимает вид:

$Z=\sum _{i=1}^{2}e^{-(E(s_{i})-\mu N(s_{i}))/kT}=e^{-(\varepsilon -\mu )/kT}+1.$

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии $s_{\alpha }$ вычисляется по формуле

$P(s_{\alpha })={\frac {e^{-(E(s_{\alpha })-\mu N(s_{\alpha }))/kT}}{Z}}.$

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии $s_{1}$, вероятность которого

${\bar {n}}=P(s_{1})={\frac {e^{-(E(s_{1})-\mu N(s_{1}))/kT}}{Z}}={\frac {e^{-(\varepsilon -\mu )/kT}}{e^{-(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}.$

${\bar {n}}$ называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры $T$, ${\bar {n}}(\varepsilon )$ есть вероятность того, что состояние с энергией $\varepsilon$ будет занято фермионом.

Учтём, что энергетический уровень $\varepsilon$ имеет вырождение $g_{\varepsilon }$. Теперь можно произвести простую модификацию:

${\bar {n}}=g_{\varepsilon }\cdot {\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}.$

Здесь ${\bar {n}}={\bar {n}}(\varepsilon )$ — ожидаемая доля частиц во всех состояниях с энергией $\varepsilon$.

Уточнение влияния температуры

Для систем, имеющих температуру $T$ ниже температуры Ферми $T_{F}=E_{F}/k$, а иногда (не вполне правомерно) и для более высоких температур используется аппроксимация $\mu \approx E_{F}$. Но в общем случае химический потенциал зависит от температуры — и в ряде задач эту зависимость целесообразно учитывать. Функция $\mu$ представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения $T/T_{F}<1$:

$\mu =E_{F}\sum _{n=0,1,2\dots }{\left[(-1)^{n}{\frac {\pi ^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2n}\right]}=E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right]$.

См. также

• Закон Видемана — Франца
• Интеграл Ферми-Дирака
• Распределение Бозе — Эйнштейна
• Распределение Максвелла
• Статистика Бозе — Эйнштейна
• Распределение Ферми — Дирака