Фибоначчи

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Леонардо Пизанский
Leonardo Pisano
Fibonacci2.jpg
Дата рождения:

ок. 1170 года

Место рождения:

Пиза, Пизанская республика

Дата смерти:

ок. 1250 года

Место смерти:

Пиза, Пизанская республика

Страна:

Италия

Научная сфера:

математика`

Известен как:

пропагандист десятичной системы счисления и использования арабских цифр

Логотип Викитеки Произведения в Викитеке

Леона́рдо Пиза́нский (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи.

Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Он ознакомился с достижениями античных и индийских математиков в арабском переводе. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Труд Леонардо Фибоначчи «Книга абака» способствовал распространению в Европе позиционной системы счисления, более удобной для вычислений, чем римская нотация; в книге были подробно исследованы возможности применения индийских цифр, ранее остававшиеся неясными, и даны примеры решения практических задач, в частности, связанных с торговым делом[1]. Позиционная система приобрела в Европе популярность в эпоху Возрождения[2].

Леонардо Пизанский никогда не называл себя Фибоначчи; этот псевдоним был дан ему позднее, предположительно Гийомом Либри (Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja) в 1838 году. Слово Fibonacci — сокращение от двух слов «filius Bonacci», появившихся на обложке «Книги абака»; они могли означать либо «сын Боначчо», либо, если интерпретировать слово Боначчи как фамилию, «сын Боначчи». Согласно третьей версии, само слово Боначчи нужно понимать как прозвище, означавшее «удачливый». Сам он обычно подписывался Боначчи; иногда он использовал также имя Леонардо Биголло — слово bigollo на тосканском наречии значило «странник», а также «бездельник». [3][4]

Биография[править | править исходный текст]

Фибоначчи родился в итальянском торговом центре городе Пиза, предположительно в 1170-е годы (в некоторых источниках стоит 1180 год). Его отец, Гильермо, был торговцем. В 1192 году он был назначен представлять пизанскую торговую колонию в Северной Африке и часто бывал в Беджаи, Алжир. По желанию отца, который хотел, чтобы Леонардо стал хорошим торговцем, он изучал там математику (искусство вычислений) у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию[5].

В 1200 году Леонардо вернулся в Пизу и принялся за написание своего первого труда «Книги абака»[5]. В то время в Европе о позиционной системе счисления и арабских цифрах знали очень немногие. В своей книге Фибоначчи всячески поддерживал индийские приёмы вычисления и методы[6]. По словам историка математики А. П. Юшкевича, «„Книга абака“ резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII—XIV веков разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения… Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения». По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления[6].

Книга заинтересовала императора Фридриха II и его придворных, среди которых был астролог Микаель Скотус (Michael Scotus), философ Теодорус Физикус (Theodorus Physicus) и Доминикус Хиспанус (Dominicus Hispanus). Последний предложил, чтобы Леонардо пригласили ко двору в одно из посещений императором Пизы около 1225 года, где ему задавал задачи Иоган Палермский, ещё один придворный философ Фридриха II . Некоторые из этих задач появились в последующих работах Фибоначчи[7][4]. Благодаря хорошему образованию Леонардо удалось обратить на себя внимание императора Фридриха II во время математических турниров. Впоследствии Леонардо пользовался покровительством императора[8].

Несколько лет Фибоначчи жил при дворе императора. К этому времени относится его работа «Книга квадратов», написанная в 1225 году. Книга посвящена диофантовым уравнениям второй степени и ставит Фибоначчи в один ряд с такими учёными, развивающими теорию чисел, как Диофант и Ферма[7]. Единственное упоминание о Фибоначчи после 1228 года относится к 1240 году, когда ему в Пизанской республике была назначена пенсия за заслуги перед городом[4].

Прижизненных портретов Фибоначчи не сохранилось, а существующие являются современными представлениями о нём. Леонардо Пизанский не оставил практически никаких автобиографических сведений; единственным[9] исключением является второй абзац «Книги абака», где Фибоначчи излагает причины, побудившие его написать книгу:

Когда отцу моему была назначена должность таможенного чиновника, заведовавшего в Беджайе делами стекавшихся к нему пизанских торговцев, он призвал меня к себе, малого отрока, и предложил взять несколько уроков счётного искусства, сулившего немало благ и выгод для моего будущего. Наученный благодаря мастерству учителей основам индийского счёта, я приобрёл большую любовь к оному искусству, а к тому же узнал, что всевозможными познаниями, касающимися заинтересо­вавшего меня предмета, владеют египтяне, сирийцы, греки, сицилийцы и провансальцы, развившие свои методы. Позже, во время торговых путешествий по всем этим краям, я посвятил много труда подробному изучению их методов, и кроме того, научился искусству спора. Однако по сравнению с методом индийцев все их построения, включая подход алгорисмиков и учение Пифагора, кажутся почти заблуждениями, а потому я решил, изучив как можно внимательнее индийский метод, изложить его в пятнадцати главах, настолько понятно, насколько смогу, с добавлениями от собственного разума и с кое-какими полезными замечаниями из геометрии Евклида, вставленными по ходу сочинения. Дабы пытливый читатель мог изучить индийский счёт наиболее вдумчивым образом, я сопроводил почти каждое утверждение убедительным доказательством; рассчитываю, что латинский народ отныне не будет лишён самых точных сведений об искусстве вычислений. Если же, паче чаяния, я пропустил что-то более или менее важное, а может быть, необходимое, то молю о прощении, ибо нет среди людей никого, кто был бы безгрешен или обладал способностью всё предвидеть.

Однако точный смысл этого абзаца нельзя считать полностью известным, потому что его текст, как и весь латинский текст книги, дошёл до нас с ошибками, внесёнными переписчиками. [10][11]

Научная деятельность[править | править исходный текст]

Книга абака

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей «Книге абака» (Liber abaci, 1202 год; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 года)[2]. Эта книга состоит из 15 глав и содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Первые пять глав книги посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. В VI и VII главе Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В VIII—X главах изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях. В XI главе рассмотрены задачи на смешение. В XII главе приводятся задачи на суммирование рядов — арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда, приводящего к последовательности так называемых чисел Фибоначчи. В XIII главе излагается правило двух ложных положений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В XIV главе Леонардо на числовых примерах разъясняет способы приближённого извлечения квадратного и кубического корней. Наконец, в XV главе собран ряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров на квадратные уравнения. Леонардо впервые в Европе использовал отрицательные числа, которые рассматривал как долг[6]. Книга посвящена Микаелю Скотусу[4].

Другая книга Фибоначчии, «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220 год), состоит из семи частей и содержит разнообразные теоремы с доказательствами, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло). Среди землемерных приёмов, которым посвящён последний раздел книги, — использование определённым образом размеченного квадрата для определения расстояний и высот. Для определения числа \pi Фибоначчи использует периметры вписанного и описанного 96-угольника, что приводит его к значению 3,1418[6]. Книга была посвящена Доминикусу Хиспанусу[4]. В 1915 году Р. С. Арчибальд занимался восстановлением утеряной работы Евклида о делении фигур, базируясь на «Практике геометрии» Фибоначчи и французском переводе арабской версии[10].

В трактате «Цветок» (Flos, 1225 год) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение x^3 + 2x^2 + 10x = 20, предложенное ему Иоанном Палермским на математическом состязании при дворе императора Фридриха II[6]. Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений. Леонардо Пизанский исследовал это уравнение, показав, что его корень не может быть рациональным или же иметь вид одной из квадратичных иррациональностей, встречающихся в X книге Начал Евклида, а затем нашёл приближённое значение корня в шестидесятеричных дробях, равное 1;22,07,42,33,04,40[7], не указывая, однако, способа своего решения[4].

«Книга квадратов» (Liber quadratorum, 1225 год) содержит ряд задач на решение неопределённых квадратных уравнений. Фибоначчи работал над поиском чисел, которые, будучи добавленными к квадратному числу, вновь дадут квадратное число. Он отметил, что числа x^2+y^2 и x^2-y^2 не могут быть квадратными одновременно[7], а также использовал для поиска квадратных чисел формулу x^2+(2x+1)=(x+1)^2[4]. В одной из задач книги, также первоначально предложенной Иоанном Палермским, требовалось найти рациональное квадратное число, которое, будучи увеличено или уменьшено на 5, вновь даёт рациональные квадратные числа[6].

Среди не дошедших до нас произведений Фибоначчи трактат Di minor guisa по коммерческой арифметике, а также комментарии к книге X «Начал» Евклида[4].

Задачи Фибоначчи[править | править исходный текст]

Оставаясь верным математическим турнирам, основную роль в своих книгах Фибоначчи отводит задачам, их решениям и комментариям. Задачи на турниры предлагал как сам Фибоначчи, так и его соперник, придворный философ Фридриха II Иоган Палермский[8]. Задачи Фибоначчи, или их аналоги, продолжали использовать в различных математических учебниках несколько столетий. Их можно встретить в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), в «Арифметике» Магницкого (1703), в «Алгебре» Эйлера (1768)[2].

Задача о размножении кроликов[править | править исходный текст]

В место, огороженное со всех сторон стеной, поместили пару кроликов, природа которых такова, что любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год (Ответ: 377 пар)? Для поиска ответа используется рекуррентная числовая последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … (по ней составлена последовательность A000045 в OEIS; отличие в том, что вторая последовательность начинается с нуля и единицы, а не с единицы и двойки), в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих; ответом, в соответствии с условиями задачи, является тринадцатый член. В честь учёного она носит название чисел Фибонначи. Числа Фибоначчи нашли своё применение во многих областях математики. Одним из важных свойств последовательности является тот факт, что предел отношения a_{n+1} к a_n равен золотому сечению[2]. Наглядно формирование последовательности можно показать следующим образом:

1 + 1 = 2
    1 + 2 = 3
        2 + 3 = 5
            3 + 5 = 8
                5 + 8 = 13
                    8 + 13 = 21
                        13 + 21 = 34
                             21 + 34 = 55
                                  34 + 55 = 89
                                          и т.д...

Задачи о гирях[править | править исходный текст]

Задача о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах[12][13] впервые была сформулирована именно Фибоначчи. Леонардо Пизанский предлагает два варианта задачи:

    • Простой вариант: требуется найти пять гирь, с помощью которых можно найти все веса меньше 30, при этом гири можно класть только на одну чашу весов (Ответ: 1, 2, 4, 8, 16). Решение строится в двоичной системе счисления[2].
    • Сложный вариант: требуется найти наименьшее число гирь, с помощью которого можно взвесить все веса меньше заданного (Ответ: 1, 3, 9, 27, 81,…). Решение строится в системе счисления по основанию три[2] и в общем случае представляет собой последовательность A009244 в OEIS.

Задачи по теории чисел[править | править исходный текст]

Кроме задачи о кроликах, Фибоначчи предлагал ряд других задач по теории чисел[10]:

    • Найти число, которое делится на 7 и даёт в остатке единицу при делении на 2, 3, 4, 5 и 6;
    • Найти число, произведение которого с семёркой даёт остатки 1, 2, 3, 4, 5 при делении на 2, 3, 4, 5, 6, соответственно;
    • Найти квадратное число, которое при увеличении или уменьшении на 5 давало бы квадратное число.

Некоторые другие задачи[править | править исходный текст]

  • Поиск числа, 19/20 которого равно квадрату самого числа (Ответ: 19/20)[2].
  • Сплав из 30 весовых частей состоит из трёх металлов: первый металл достоинством по три монеты на одну часть, второй металл по две монеты на одну часть, а у третьего металла каждые две части стоят по одной монете; стоимость всего сплава 30 монет. Сколько частей каждого металла содержит сплав? (Ответ: 3 части первого металла, 5 частей второго металла, 22 части третьего). В таких терминах Фибоначчи переформулировал известную задачу о птицах, в которой были использованы те же самые числа (30 птиц трёх разных видов стоят 30 монет, по заданным ценам найти количество птиц каждого вида)[6].
  • «Шуточная задача о семи старухах», которые шли в Рим, и у каждой было по семь мулов, на каждом из которых по семь мешков, в каждом из которых по семь хлебов, в каждом из которых по семь ножей, каждый из которых в семи ножнах. Обошедшая много стран, и впервые появившаяся ещё в Древнем Египте в папирусе Ахмеса, задача предлагает найти общее количество предметов (Ответ: 137 256)[6][2].

Память[править | править исходный текст]

Памятник Фибоначчи в Пизе

В XIX веке в Пизе был поставлен памятник учёному. Статуя Фибоначчи установлена в Пизе на кладбище Кампосанто, расположенном на Пьяцца деи Мираколи. Ранее статуя стояла в Giardino Scotto, а в 1978 году Франк Джонсон нарисовал портрет Фибоначчи с этой статуи, после чего она была перенесена на своё текущее место. Именем Фибоначчи названы улицы в Пизе (Lungarno Fibonacci) и во Флоренции (Via Fibonacci). Кроме того, имя Фибоначчи носит ассоциация Fibonacci Association[14] и издаваемый ею научный журнал Fibonacci Quarterly[15], посвящённые числам Фибоначчи, проект Евросоюза в сфере образования[16], а также другие программы[10].

Работы Фибоначчи[править | править исходный текст]

При покровительстве императора Леонардо Пизанский написал несколько книг[8][4][3]:

  • «Книга абака» (Liber abaci), 1202 год, дополнена в 1228 году;
  • «Практика геометрии» (Practica geometriae), 1220 год;
  • «Цветок» (Flos) 1225 год;
  • «Книга квадратов» (Liber quadratorum), 1225 год;
  • Di minor guisa, утеряно;
  • Комментарии к книге X «Начал» Евклида, утеряно;
  • Письмо Теодорусу, 1225 год.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. N. Ambrosetti L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa. — LED Edizioni Universitarie, 2008. — С. 220—221.
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 Карпушина Н. «Liber abaci» Леонардо Фибоначчи, Математика в школе, № 4, 2008.
  3. 1 2 A brief biographical sketch of Fibonacci, his life, times and mathematical achievements.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Leonardo Pisano Fibonacci
  5. 1 2 R.Knott, D.A.Quinney and PASS Maths The life and numbers of Fibonacci
  6. 1 2 3 4 5 6 7 8 История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. I: С древнейших времён до начала Нового времени. — С. 260—267.
  7. 1 2 3 4 Frances Carney Gies Leonardo Pisano//Энциклопедия Британника
  8. 1 2 3 Яглом И. М. Итальянский купец Леонардо Фибоначчи и его кролики. // Квант, 1984. № 7. С. 15-17
  9. [1] Treccani, l'Enciclopedia Italiana: Fibonacci, Leonardo (detto Leonardo Pisano)
  10. 1 2 3 4 EIGHT HUNDRED YEARS YOUNG// A. F. HORADAM
  11. RICHARD E.GRIMM//THE AUTOBIOGRAPHY OF LEONARDO PISANO
  12. А. П. Стахов. Две знаменитые задачи Фибоначчи http://www.goldenmuseum.com/1001TwoProblems_rus.html
  13. Леонардо Пизано Фибоначчи http://www.xfibo.ru/fibonachi/leonardo-pisano-fibonacci.htm
  14. The Fibonacci Association
  15. Fibonacci Quarterly
  16. Fibonacci Project

Литература[править | править исходный текст]

  • Щетников А. И. К реконструкции итерационного метода решения кубических уравнений в средневековой математике. Труды третьих Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2005, с. 332—340.
  • Glushkov S. On approximation methods of Leonardo Fibonacci. Historia Mathematica, 3, 1976, p. 291—296.
  • Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci, Leonardo Pisano’s Book of Calculations" Springer. New York, 2002, ISBN 0-387-40737-5.