Полиформа

20 «свободных» тетраронов — трёхмерных полиформ, образованных соединением 4 ромбододекаэдров. Количество «односторонних» тетраронов равно 28, так как 8 из 20 «свободных» тетраронов не могут быть совмещены со своими зеркальными копиями параллельным переносом и вращением

Полифо́рма — плоская или пространственная геометрическая фигура, образованная путём соединения одинаковых ячеек — многоугольников или многогранников. Обычно ячейка представляет собой выпуклый многоугольник, способный замостить плоскость — например, квадрат или правильный треугольник. Некоторые виды полиформ имеют свои названия; например, полиформа, состоящая из равносторонних треугольников — полиамонд.

Первыми полиформами, использованными в занимательной математике, стали полимино — связные фигуры, состоящие из клеток бесконечной шахматной доски. Название «полимино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году и популяризировано Мартином Гарднером.

Полиформа, состоящая из n ячеек, может обозначаться как n-форма. Для указания числа ячеек в фигуре используются стандартные греческие и латинские приставки моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.

Правила соединения

Правила соединения ячеек могут быть различными и должны быть указаны в конкретном случае. Обычно принимаются следующие правила:

• Ячейки полиформы не должны перекрываться.
• Две соседние многоугольные (многогранные) ячейки должны иметь общее ребро (для трёхмерных полиформ - общую грань).
  • Если допустить, что соседние ячейки могут иметь лишь общий угол (на плоскости) или общие ребро или вершину (в пространстве), то полиформа называется псевдополиформой (англ. pseudopolyform, pseudo-n-form).
  • Полиформа, состоящая из произвольных не обязательно связанных между собой ячеек на плоскости или в пространстве, называется квазиполиформой (англ. quasipolyform, quasi-n-form).

Симметрии

Фигуры для игры Ubongo

В зависимости от того, разрешены ли вращения и зеркальные отражения, различаются следующие типы полиформ:

• свободная (англ. free) или двусторонняя (англ. two-sided) полиформа — фигура, которую разрешено вращать и зеркально отображать;
• односторонняя (англ. one-sided) полиформа — плоская фигура, которую разрешено только вращать в плоскости, но нельзя переворачивать;
• фиксированная (англ. fixed) полиформа — фигура, которую не разрешено ни зеркально отображать, ни вращать.

Виды и применение полиформ

Полиформы могут использоваться в играх, головоломках, моделях. Одной из основных комбинаторных проблем, связанной с полиформами, является перечисление полиформ заданного вида. Другой задачей является укладка фигур из заданного набора (часто это всевозможные полиформы определённого вида, например, 12 пентамино) в заданную область (в случае пентамино это может быть прямоугольник 6×10).

Среди популярных головоломок и игр, основанных на полиформах — пентамино, кубики сома, тетрис, некоторые варианты судоку.

Форма ячейки (моноформа)		Связность фигуры	Полиформа
	квадрат	сторона	полимино (англ. polyomino)
		сторона, угол	псевдополимино полиплет (англ. polyplet)
	правильный треугольник	сторона	полиамонд (англ. polyiamond, polyamond)
	правильный шестиугольник	сторона	полигекс (англ. polyhex)
	куб	грань	поликуб (англ. polycube)
	треугольник 45-45-90	сторона	полиаболо (англ. polyabolo)
	треугольник 30-60-90	сторона	полидрафтер (англ. polydrafter)
	квадрат (в трёхмерном пространстве)	ребро (90°, 180°)	полиминоид (англ. polyominoid)
	ромбододекаэдр	грань	полирон (англ. polyrhon)
	отрезок	конец (90°, 180°)	полистик (англ. polystick)

5 тетрамино на квадратном паркете порядка 5, изображённые на диске Пуанкаре. «Евклидово» квадратное тетрамино 2×2 превращается в «гиперболическое» пятиугольное пентамино с удалённым квадратом; структура четырёх других тетрамино остаётся неизменной

Полиформы на гиперболических паркетах

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета — квадратный паркет, треугольный паркет и шестиугольный паркет. На этих трёх паркетах размещаются три наиболее «популярных» типа полиформ — полимино, полиамонды и полигексы соответственно.

На гиперболической плоскости существует бесконечное множество правильных паркетов, каждому из которых соответствует по меньшей мере один тип полиформ. На паркетах, в каждой вершине которых сходятся три многоугольника, существует один тип полиформ — объединения многоугольников, соединённых сторонами. На паркетах с четырьмя и более многоугольниками, сходящимися в вершине, можно рассматривать также аналоги псевдополимино — фигуры, образующиеся при соединении вершин многоугольников.

Сведения о количестве «гиперболических» полиформ и составлении из них фигур немногочисленны. Так, на квадратном паркете порядка 5 существует 1 мономино, 1 домино, 2 тримино (они совпадают с «евклидовыми» мономино, домино и тримино), 5 тетрамино. На правильном семиугольном паркете порядка 3 существует 10 тетрагептов — фигур, состоящих из четырёх связанных семиугольников, причём 7 из этих 10 тетрагептов можно уложить на евклидовой плоскости без перекрытия семиугольников.

Литература

• Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.

Ссылки

• Andrew Clarke The Poly Pages Архивная копия от 22 февраля 2015 на Wayback Machine (англ.)
• David Eppstein The Geometry Junkyard Архивная копия от 3 июля 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Peter F. Esser Peter's Puzzle and Polyform Pages Архивная копия от 31 мая 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Jaap Scherphuis PolyForm Puzzle Solver Архивная копия от 15 мая 2015 на Wayback Machine (англ.)
• George Sicherman Polyform Curiosities Архивная копия от 14 декабря 2014 на Wayback Machine (англ.)
• Miroslav Vicher Miroslav Vicher's Puzzles Pages Архивная копия от 4 апреля 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Aad van de Wetering Letters en cijfers Архивная копия от 3 февраля 2020 на Wayback Machine (нид.)
• Livio Zucca PolyMultiForms Архивная копия от 17 августа 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Kadon Enterprises, Inc. Polyform Puzzles Архивная копия от 15 октября 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Alexandre Owen Muñiz Math at First Sight Архивная копия от 15 октября 2015 на Wayback Machine (англ.)