Флексагон

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Флексагоны

Флексагоны (от англ. to flex, лат. flectere — складываться, сгибаться, гнуться и греч. ωνος — угольник) — плоские модели из полосок бумаги, способные складываться и сгибаться определённым образом. При складывании флексагона становятся видны поверхности, которые ранее были скрыты в конструкции флексагона, а прежде видимые поверхности уходят внутрь.

Флексагоны обычно имеют квадратную (тетрафлексагоны) или шестиугольную (гексафлексагоны) форму.

Для различения плоскостей на секторы флексагона наносят цифры, буквы, элементы изображения или просто окрашивают в определённый цвет.

Флексагоны являются частным случаем моделей-трансформеров.

История[править | править вики-текст]

Первый флексагон был открыт в 1939 году английским студентом Артуром Стоуном, изучавшим тогда математику в Принстонском университете в США. Бумага формата Letter была слишком широкой и не умещалась в скоросшиватель, предназначенный для бумаги формата A4. Стоун обрезал края бумаги и из получившихся полосок стал складывать различные фигуры, одна из которых оказалась тригексафлексагоном[1][2].

Вскоре был создан «Флексагонный комитет», в который вошли, кроме Стоуна, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и преподаватель математики Джон У. Тьюки[2].

К 1940 году Фейнман и Тьюки разработали теорию флексагонов, заложив тем самым основания для всех последующих исследований. Теория не была опубликована полностью, хотя отдельные её части впоследствии были открыты заново[2]. Нападение на Пёрл-Харбор приостановило работу «Флексагонного комитета», а война вскоре разбросала всех четырех его учредителей в разные стороны[3].

Популярность флексагоны получили после появления в декабрьском номере журнала «Scientific American» за 1956 год первой колонки Мартина Гарднера «Mathematical Games», посвящённой гексафлексагонам[4].

Флексагоны неоднократно были запатентованы в виде игрушек, но не получили широкого коммерческого распространения[5][6].

Виды флексагонов[править | править вики-текст]

Наименования флексагонов[править | править вики-текст]

Поверхности флексагона могут состоять из равносторонних или равнобедренных треугольников, квадратов, пятиугольников и т.д. Флексагон может допускать появление определённого числа поверхностей; некоторые из них могут быть аномальными (т.е. включающими в себя секторы с разными цифрами). Флексагон заданной формы с заданным количеством плоскостей может быть изготовлен из разных развёрток. Более того, даже одна и та же развёртка может допускать разные варианты сворачивания[3][7].

Принцип наименования флексагонов таков:

Приставка (форма) + приставка (число поверхностей) + флексагон

Таким образом, первая приставка обозначает сколько углов у флексагона, а вторая — сколько поверхностей, которые могут рано или поздно раскрыться. Например, тетратетрафлексагон — это флексагон с четырьмя углами, т.е. квадратный и четырьмя поверхностями, а гексагексафлексагон — флексагон в виде шестиугольника с тремя поверхностями.

Как уже говорилось в начале статьи, флексагоны, как правило, имеют квадратную (тетрафлексагоны) или шестиугольную (гексафлексагоны) форму.

Гексафлексагоны[править | править вики-текст]

Гексафлексагоны

Гексафлексагон — это флексагон, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольных секторов.

Существует множество гексафлексагонов, различающихся по числу поверхностей. Известны гексафлексагоны с тремя, четырьмя, пятью, шестью, семью, девятью, двенадцатью, пятнадцатью, сорока восемью поверхностями; количество плоскостей ограничено лишь тем, что бумага имеет ненулевую толщину[8][1][3][9][10].

С увеличением числа поверхностей гексафлексагона, растёт число его сторон: существуют 3 вида гексагексафлексагона, 4 вида гептагексафлексагона, 12 видов октагексафлексагонов, 27 видов эннагексафлексагонов и 82 вида декагексафлексагона[3][11].

Тригексафлексагон[править | править вики-текст]

Тригексафлексагон — самый простой и самый первый из всех флексагонов. Соответственно названию это шестиугольный флексагон с тремя поверхностями.

Гексагексафлексагон[править | править вики-текст]

Тетрафлексагоны[править | править вики-текст]

Silk-film.png Внешние видеофайлы
Флексагоны
Silk-film.png 7 sided square tetraflexagon Scott Sherman

Простейший тетрафлексагон (флексагон с квадратными поверхностями) — тритетрафлексагон, имеющий три поверхности. В любой момент видимыми являются лишь две из трёх поверхностей.

Более сложные гексатетрафлексагон и декатетрафлексагон собираются из крестообразной развёртки . Тетрафлексагоны с числом плоскостей 4n + 2 также можно изготавливать из квадратных рамок[3].

Из зигзагообразных полосок бумаги можно изготовить тетратетрафлексагон и другие тетрафлексагоны с числом плоскостей, кратным 4[12].

Кольцевые флексагоны[править | править вики-текст]

Кольцевой флексагон — флексагон, поверхность которого представляет собой «кольцо» из многоугольников. Для наименования кольцевых флексагонов может быть использована приставка «цирко», например, пентациркодекафлексагон — кольцевой флексагон с пятью плоскостями, состоящими из десяти многоугольников (пятиугольников) каждая[13]; тригемициркогексафлексагон — флексагон с тремя поверхностями, каждая из которых представляет собой кольцо (цирко) из половинок (геми) правильных шестиугольников (гекса)[14].

Путь Таккермана[править | править вики-текст]

Диаграмма пути Таккермана для гексагексафлексагона

Простой способ обнаружить все поверхности гексафлексагона — обход Таккермана — заключается в том, чтобы держать флексагон за один угол и раскрывать модель до тех пор, пока она не перестанет раскрываться, затем повернуть флексагон на 60° по часовой стрелке, взяться за соседний угол и повторить то же самое[15][10].

При обходе Таккермана плоскости гексагексафлексагона будут раскрываться в порядке: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (или в обратном порядке), после чего последовательность повторится. Эту последовательность называют путём Таккермана[15][10].

Методы складывания («флексы»)[править | править вики-текст]

Гексафлексагоны[править | править вики-текст]

Silk-film.png Внешние видеофайлы
Флексагоны
(Методы складывания)
Silk-film.png 5 sided Hexaflexagon Scott Sherman Flexagons. Демонстрация «флексов» на примере пентагексафлексагона

Описанный выше метод складывания гексафлексагона, используемый для обхода всех плоскостей (путиТаккермана), носит название pinch flex[16]. Существуют следующие методы складывания гексафлексагонов:

  • pinch flex[16] (выполним на гексафлексагонах с тремя и более плоскостями)
  • v-flex[17][18] (выполним на гексафлексагонах с четырьмя и более плоскостями)
  • tuck flex[19], «лодочка-гексаэдр»[15] (выполним на гексафлексагонах с четырьмя плоскостями и более)

и др.[20]

Аномалии[править | править вики-текст]

Плоскость флексагона (совокупность секторов), на которой присутствуют разные цифры, называется аномальной плоскостью, а флексагон с видимой аномальной плоскостью (в аномальном положении) — аномальным флексагоном[15][10][21]. Появление аномальных плоскостей возможно на флексагонах достаточно высокого порядка, например, на гексагексафлексагоне[15], додекагексафлексагоне[21]. Простейшим гексафлексагоном, допускающим появление аномалий, является тетрагексафлексагон[13]. Для достижения аномальных плоскостей используются методы складывания, отличные от «стандартного» pinch flex[15].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Наука и жизнь, 1970, №1
  2. 1 2 3 Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline The story of the Flexagon
  3. 1 2 3 4 5 Мартин Гарднер, Математические головоломки и развлечения
  4. Martin Gardner's Collections of "Mathematical Games" Columns. Muppetlabs
  5. Changeable amusement devices and the like. Freepatentsonline.com (21 апреля 1959). Архивировано из первоисточника 13 августа 2013.
  6. Patents
  7. Scott Sherman Flexagon Naming and Terminology
  8. Наука и жизнь, 1970, №3
  9. Mathematische Basteleien Flexagons
  10. 1 2 3 4 Наука и жизнь, 1970, №2
  11. последовательность A000207 в OEIS The number of hexaflexagons of order n+2
  12. Наука и жизнь, 1972, №3
  13. 1 2 Наука и жизнь, 1977, №8
  14. Наука и жизнь, 1993, №11
  15. 1 2 3 4 5 6 Наука и жизнь, 1977, №2
  16. 1 2 Scott Sherman The Pinch Flex
  17. Flexagon Portal v-flex video
  18. Scott Sherman The V flex
  19. Scott Sherman The Tuck Flex
  20. Scott Sherman Triangle Flexagon Flexes
  21. 1 2 Квант, 1992, №10

Ошибка в сносках?: Тег <ref> с именем «pook_fio», определённый в <references>, не используется в предшествующем тексте.
Ошибка в сносках?: Тег <ref> с именем «loki3_triangles», определённый в <references>, не используется в предшествующем тексте.
Ошибка в сносках?: Тег <ref> с именем «nkj_1975_09», определённый в <references>, не используется в предшествующем тексте.
Ошибка в сносках?: Тег <ref> с именем «nkj_1992_04», определённый в <references>, не используется в предшествующем тексте.
Ошибка в сносках?: Тег <ref> с именем «nkj_1993_12», определённый в <references>, не используется в предшествующем тексте.

Литература[править | править вики-текст]

Книги[править | править вики-текст]

Статьи[править | править вики-текст]

  • А. А. Панов Флексагоны, флексоры, флексманы // Квант. — 1988. — № 7. — С. 10—14.
  • И. Кан Аномальные флексагоны // Квант. — 1992. — № 10. — С. 57—59.
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 1. — С. 124—125. Тригексафлексагон
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 2. — С. 68—69. Гексагексафлексагон, путь Таккермана
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 3. — С. 154—155. Другие гексафлексагоны
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 8. — С. 149. Переписка с читателями
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. — № 3. — С. 142—143. Тетрафлексагоны
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. — № 4. — С. 107. Флексотрубка Стоуна
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. — № 7. — С. 154—155. Флексотрубка Стоуна (продолжение)
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. — № 9. — С. 121—123. Гексатетрафлексагон, декатетрафлексагон, приставки IUPAC
  • И. Константинов Флексагонными тропами // Наука и жизнь. — 1977. — № 2. — С. 92—96, V. Туннельный перевод
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1977. — № 8. — С. 98—99. Пространственные модели диаграмм перевода. Пентациркодекафлексагон
  • И. Кан Гемитетрафлексагоны // Наука и жизнь. — 1992. — № 4. — С. 126—127. Гемитетрафлексагоны
  • И. Кан Гемитетра- и гемигексафлексагоны // Наука и жизнь. — 1993. — № 11. — С. 150—152.
  • И. Кан Треугольные флексагоны // Наука и жизнь. — 1993. — № 12. — С. 42—43.

Ссылки[править | править вики-текст]