Форма Киллинга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Форма Киллинга — симметричная билинейная форма на алгебре Ли определённого типа.

История[править | править код]

Форма Киллинга была введена  Картаном в его диссертации. Название «форма Киллинга» впервые ввёл Борель в 1951 году в честь Вильгельма Киллинга. В 2001 году он заявил, что не помнит, почему он выбрал именно это название и утверждает, что было бы более правильным называть её «формой Картана»[1].

Определение[править | править код]

Рассмотрим алгебру Ли над полем . Каждый элемент из определяет эндоморфизм

где скобка Ли. Предположим, что имеет конечную размерность. Тогда след композиции таких эндоморфизмов определяет симметричную билинейную форму

со значениями в . Эта форма и называется формой Киллинга на .

Свойства[править | править код]

  • Форма Киллинга является билинейной и симметричной.
  • Форма Киллинга является инвариантной формой, то есть
где скобка Ли.
  • Если является простой алгеброй Ли, то любая инвариантная симметричная билинейная форма на пропорциональна форме Киллинга.
  • Форма Киллинга также инвариантна относительно автоморфизмов алгебры Ли, то есть
где .
  • В частности, левоинвариантное поле форм на соответствующей группе Ли, совпадающее с в единице, является также правоинвариантным, и значит биинвариантным.
  • Критерий Картана гласит, что алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга является невырожденной.
  • Форма Киллинга нильпотентной алгебры является тождественным нулем.
  • Если  и — два идеала в алгебре Ли с нулевым пересечением, тогда и   образуют ортогональные подпространства по отношению к форме Киллинга.
  • Ортогональное дополнение относительно идеала по отношению к форме Киллинга также является идеалом.
  • Если алгебра Ли является прямой суммой своих идеалов, то её форма Киллинга является прямой суммой форм Киллинга на отдельных слагаемых.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Borel, Armand. Essays in the history of Lie groups and algebraic groups. — American Mathematical Society and the London Mathematical Society, 2001. — Vol. 21. — (History of Mathematics).