Формула Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, который вывел эту формулу.

Формулировка[править | править вики-текст]

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие наступит ровно раз в независимых испытаниях, равна: , где .

Доказательство[править | править вики-текст]

Пусть проводится независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие наступает с вероятностью и, следовательно, не наступает с вероятностью . Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности и остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате независимых испытаний, событие наступит ровно раз?

Оказывается можно точно подсчитать число "удачных" комбинаций исходов испытаний, для которых событие наступает раз в независимых испытаниях, - в точности это количество сочетаний из по :

.

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие либо наступает, либо нет), то вероятность получения "удачной" комбинации в точности равна: .

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз, нужно сложить вероятности получения всех "удачных" комбинаций. Вероятности получения всех "удачных" комбинаций одинаковы и равны , количество "удачных" комбинаций равно , поэтому окончательно получаем:

.

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно также заметить, что в силу полноты группы событий, будет справедливо:

.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]