Формула Бернулли

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события $A$ определённое количество раз при любом числе независимых испытаний. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, который вывел эту формулу.

Формулировка

Теорема. Если вероятность $p$ наступления некоторого события в каждом испытании постоянна, то вероятность $P_{n}^{k}$ того, что данное событие наступит ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, равна $P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$, где $q=1-p$.

Доказательство

Пусть проводится $n$ независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие $A$ наступает с вероятностью $P(A)=p$ и, следовательно, не наступает с вероятностью $P({\bar {A}})=1-p=q$. Пусть также в ходе испытаний вероятности $p$ и $q$ остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате $n$ независимых испытаний событие $A$ наступит ровно $k$ раз?

Оказывается можно точно подсчитать число «удачных» комбинаций исходов испытаний, для которых событие $A$ наступает $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, — в точности это количество сочетаний из $n$ по $k$:

$C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.$

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие $A$ либо наступает, либо нет), то вероятность получения «удачной» комбинации в точности равна $p^{k}q^{n-k}$.

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие $A$ наступит ровно $k$ раз, нужно сложить вероятности получения всех «удачных» комбинаций. Вероятности получения всех «удачных» комбинаций одинаковы и равны $p^{k}q^{n-k}$, количество «удачных» комбинаций равно $C_{n}^{k}$, поэтому окончательно получаем:

$P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.$

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно также заметить, что в силу полноты группы событий будет справедливо

$\sum _{k=0}^{n}(P_{n}^{k})=1.$

См. также

• Факториал
• Биномиальный коэффициент
• Локальная теорема Муавра — Лапласа

Ссылки

• Повторение испытаний. Формула Бернулли